第10讲 第七章 立体几何与空间向量（综合测试）（解析版）_1.docx

第七章立体几何与空间向量（综合测试）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（2023春·全国·高一专题练习）如图，是的直观图，其中，，那么是一个（????）

??

A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定

【答案】A

【详解】??

如图，将直观图还原，则，，所以，即是正三角形.

故选：A.

2．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】由题意可得圆锥体的母线长为，

所以圆锥体的侧面积为，

圆柱体的侧面积为，

圆柱的底面面积为，

所以此陀螺的表面积为，

故选：C.

3．（2023春·福建南平·高一校考期末）如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（????）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】??

如图，取中点，连接、，因为E，F分别是的中点，

所以，，又，，

所以，，

因为，所以，

所以在中，，所以，

因为，根据等角定理可知，

与所成的角的大小是，故B，C，D错误.

故选：A.

4．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，设分别为线段的中点，将四边形沿着直线进行翻折，使得点不在平面上，在这一过程中，下列关系不能成立的是（????）

??

A．直线直线 B．直线直线

C．直线直线 D．直线平面

【答案】C

【详解】翻折之后如图所示：

??

①因为，，所以且，

因此，故选项A成立；

②连接，因为分别为的中点，所以，

??

又因为，所以，故选项B成立；

③因为，，所以与不平行，故选项C不成立；

④因为，且平面，平面，

所以平面，故选项D成立.

故选：C

5．（2023春·福建龙岩·高一校联考期中）西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设半球的半径为，连接交于点，连接，

则，则，

∵内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，

∴四棱锥的体积，所以，

所以这个半球的表面积.

故选：B.

??

6．（2023春·江苏南通·高二校考期末）如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（????）

A．存在平面与直线垂直

B．四边形可能是正方形

C．不存在平面与直线平行

D．任意平面与平面垂直

【答案】D

【详解】对于A：在正方体中平面，

显然平面与平面不平行，故直线不可能垂直平面，故A错误；

对于B：在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点，

由平面平面，并且四点共面，

平面平面，平面平面，

∴，同理可证，故四边形是平行四边形，

在正方体中，由几何知识得，平面，

∵平面，∴，

若是正方形，有，

此时与重合时，但显然四边形不是正方形，故B错误；

对于C：当为的中点时，为的中点，所以且，

所以为平行四边形，所以，

平面，平面，所以平面，故C错误；

对于D：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，

??

由几何知识得，,

∴,

∵，

∴，

∵，平面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴任意平面与平面垂直，故D正确.

故选：D

7．（2023春·上海杨浦·高二统考期末）小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（????）

??

A．80厘米 B．100厘米 C．120厘米 D．140厘米

【答案】B

【详解】在捆扎方案一中，设点心盒是长方体，如图：

??

丝带从棱上的点出发，沿着长方体的各个表面绕行一圈回到点进行捆扎，现把长方体从面开始，按照丝带绕行的顺序把长方体的各个面展开，如图所示：

??

则线段即为最短路径，即为所需丝带的最短长度，

易知，，所以，

所以在捆扎方案一中，丝带长度最短为100厘米；

在捆扎方案二中，所需丝带长度为矩形和矩形的周长之和，

易得矩形和矩形的周长之和为厘米，

即在捆扎方案二中，所需丝带长度最短为140厘米；

由上可知，小李需要购