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1.1.1空间向量及其线性运算
重点:空间向量的加减、数乘运算在空间几何体中的应用
难点:空间几何中向量的运算。
一、空间向量的概念及几类特殊向量
1、空间向量的有关概念
(1)空间向量的定义:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。
(2)空间向量的长度(模):空间向量的大小叫做向量的长度或模。
(3)表示法:=1\*GB3①几何表示法:空间向量用有向线段表示;=2\*GB3②字母表示法:用字母a、b、c,…表示,若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作AB,其模记为a或AB
2、几类特殊向量
(1)零向量:长度为0或者说起点和终点重合的向量,记为。规定:与任意向量平行。
(2)单位向量:长度为1的空间向量,即.
(3)相等向量:方向相同且模相等的向量。
(4)相反向量:方向相反但模相等的向量。
(5)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.平行于记作.
(6)共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量。
二、空间向量的线性运算
1、空间向量的加减法
空间中任意两个向量都是共面的,它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.(如下图).
2、空间向量加减法运算律
交换律:结合律:
小结:空间向量加法的运算的小技巧
(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,
即:
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,
即:;
3、空间向量的数乘运算
(1)定义:实数λ与空间向量a的乘积λa
当λ0时,λa与
当λ0时,λa与
当λ=0时,λ
λa的长度是a的长度的|λ|
(2)运算律:分配律:λa
结合律:λμ
三、向量共线定理
1、空间向量共线的充要条件:
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
2、直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得OP=
与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
这样,直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,
也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定。
3、证明空间三点共线的三种思路:
对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线
(1)存在实数λ,使PA=λ
(2)对空间任一点O,有OP=
(3)对空间任一点O,有OP=
四、空间向量共面定理
1、定义:
如图,如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合,
那么称向量a平行与直线l.
如果直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.
平行于同一个平面的向量,叫做共面向量。
2、向量共面的充要条件:
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,
3、向量共面证明:
(1)证明点P在平面ABC内,可以用AP=xAB
若用OP=xOA
(2)判断三个向量共面一般用p=
证明三线共面常用AP=
证明四点共面常用OP=xOA
题型一空间向量的概念理解
【例1】(2022秋·山西·高二校联考期中)下列关于空间向量的说法中错误的是()
A.零向量与任意向量平行
B.任意两个空间向量一定共面
C.零向量是任意向量的方向向量
D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】C
【解析】由已知,选项A,零向量方向是任意的,所以零向量任意向量平行,该选项正确;
选项B,平面由两个不平行的向量确定,任意两个向量可通过平移形成相交,
故一定可以确定一个平面,该选项正确;
选项C,在直线上取非零向量,
把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量,该选项错误;
选项D,方向相同且模相等的两个向量是相等向量,该选项正确.故选:C.
【变式1-1】(2022秋·山东济南·高二校考期中)下列关于空间向量的说法中正确的是()
A.方向相反的两个向量是相反向量
B.空间中任意两个单位向量必相等
C.若向量满足,则
D.相等向量其方向必相同
【答案】D
【解析】相反向量指的是长度相等,方向相反的向量,故A错误;
单位向量指的是模为1的向量,方向未定,故B错误;
向量不能比较大小,故C错误;
相等向量其方向必相同,故D正确;故选:D.
【变式1-2】(2022秋·广东阳江·高二校联考期中)(多选)以下关于向量的说法正确的有()
A.若=,则=
B.若将所有空间单位向量的起点放在同一点,则终点围成一个圆
C.若=-且=-,则=
D.若与共线,与共线,则与共线
【答案】AC
【解析】若=,则和的大小相等,方向相同,故A正确;
将所有空间单位向量的起点放在同一点,则终点围成一个球,故B错误;
若=-,=-,则=-=,故C正
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