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第20练线面角向量求法及应用
【基础练】
1.(2023秋·高二单元测试)如图所示,四棱锥的底面是矩形,底面,,,,.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
2.(2023春·广东汕头·高二校考期中)如图所示,在四棱锥中,平面ABCD,,,且,.
(1)求证:平面;
(2)若E为PC的中点,求与平面所成角的正弦值.
3.(2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测)已知多面体中,四边形是边长为4的正方形,四边形是直角梯形,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
4.(2023·天津·校联考二模)如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,,平面ABCD,E为PD中点.
(1)若.
(i)求证:平面PCD;
(ii)求直线BE与平面PCD所成角的正弦值;
(2)若平面BCE与平面CED夹角的正弦值为,求PA.
5.(2023秋·河南商丘·高二宁陵县高级中学校考开学考试)如图①,在等腰直角三角形中,分别是上的点,且满足.将沿折起,得到如图②所示的四棱锥.
(1)设平面平面,证明:⊥平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
6.(2023·天津和平·统考一模)在如图所示的几何体中,平面平面;是的中点.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)求平面与平面的夹角的余弦值.
7.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)如图,在三棱锥中,,.
(1)证明:平面SAB⊥平面ABC;
(2)若,,试问在线段SC上是否存在点D,使直线BD与平面SAB所成的角为60°,若存在,请求出D点的位置;若不存在,请说明理由.
8.(2023·河北·统考模拟预测)如图,三棱柱,底面是边长为2的正三角形,,平面平面.
(1)证明:平面;
(2)若与平面所成角的正弦值为,求平面与平面夹角的余弦值.
9.(2023·辽宁沈阳·统考三模)如图,在三棱锥中,,,,,点D为BC中点.
(1)求二面角的余弦值;
(2)在直线AB上是否存在点M,使得PM与平面PAD所成角的正弦值为,若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.
10.(2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测)如图,在四棱锥中,底面,,,,,,,点为棱上一点,且.
(1)若平面,求实数的值;
(2)若平面,求直线和平面所成角的正弦值.
【提升练】
11.(2023·天津·校考模拟预测)如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,点M为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面夹角的正弦值;
(3)在线段上是否存在一点N,使直线与平面所成的角正弦值为,若存在求出的长,若不存在说明理由.
12.(2023·全国·高三专题练习)如图,三棱锥,平面平面,点为的中点.
(1)若,求直线与平面所成角的正弦值;
(2)若,求的长.
13.(2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测)如图,已知四棱锥中,,,,平面,平面平面
(1)证明:;
(2)若,且,为的重心.求直线与平面所成角的正弦值.
14.(2023·广西桂林·校联考模拟预测)如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,BE⊥平面ABCD,DF∥BE,且DF=2BE=2,EF=3.
(1)证明:平面ACF⊥平面BEFD;
(2)若二面角A-EF-C是直二面角,求直线AE与平面ABCD所成角的正切值.
15.(2023·湖北·统考模拟预测)如图,在斜三棱柱中,底面是边长为2的正三角形,侧面为菱形,已知,.
(1)当时,求三棱柱的体积;
(2)设点P为侧棱上一动点,当时,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
16.(2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模)如图,在三棱柱中,为等边三角形,四边形是边长为的正方形,为中点,且.
(1)求证:平面;
(2)若点在线段上,且直线与平面所成角的正弦值为,求点到平面的距离.
17.(2023·全国·高三专题练习)如图,在四棱锥中,为等边三角形,为的中点,,平面平面.
(1)证明:平面平面;
(2)若,,,直线与平面所成角的正弦值为,求三棱锥的体积.
18.(2023·全国·高三专题练习)如图,在多面体中,四边形与均为直角梯形,,,平面,,.
(1)已知点为上一点,且,求证:与平面不平行;
(2)已知直线与平面所成角的正弦值为,求该多面体的体积.
【能力练】
19.(2023秋·新疆·高二校考期末)如图,在四棱锥中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AD⊥DC,ABDC,AB=2AD=2CD=2,点E是PB的中点.
(1)证明:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为,求二面角P-AC-E的余弦值.
20.(2023·新疆克拉玛依·克拉玛依市高级中学校考模拟预测)在四棱锥P-ABCD中,底面
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