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高中数学精编资源
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《排列数》教学设计
一、复习引入
判断下面哪些问题是排列问题.
(1)从四名男生中,任选两名同学组成一队参加年级乒乓球男双比赛,有多少种情况?
(2)从四名男生中,任选两名同学分别参加上午、下午的比赛,有多少种情况?
(3)从0~9这10个数字中,任选4个不同的数字组成一组,有多少种情况?
(4)圆上有10个不同的点,过其中2个点画一条弦,有多少种情况?
(5)圆上有10个不同的点,以其中2个点画有向线段,有多少种情况?
(6)从1,3,5,7,11这5个质数中任选两个相乘,有多少个不同的积?
(7)从1,3,5,7,11这5个质数中任选两个相除,有多少个不同的商?
(8)一个学生有20本不同的书,这些书都排在一个单层的书架上,有多少种情况?
(9)从53位同学中随机选8位去8个不同的地方参加活动,每个地方派一人,有多少种情况?
师生活动:
教师指名学生回答,哪些是排列问题,哪些不是排列问题?为什么?
生:第(2)(5)(7)(8)(9)是排列问题,(1)(3)(4)(6)不是排列问题.根据排列的定义判断.
追问:其中这些排列问题各有多少个不同的排列?
教师指名学生在黑板上列出计算过程.
追问:你能发现这些计算的共同特点吗?能否把这一类问题用同一种简化的形式表示?这是我们本节课研究的问题.
设计意图:复习上节课学习的排列概念,引导学生进一步理解排列的概念,让学生归纳出值得注意的关键词:(1)n个不同的元素;(2)取出m个元素;(3)一定的顺序排成一列.在此基础上让学生计算排列的个数,引导学生发现规律,引出本节课的课题.
二、揭示规律,导出公式
师生活动:
教师给出排列数的定义:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.
教师提问:表示什么?等于多少?
学生思考、讨论、交流.
表示从3个不同元素中取出2个元素的排列个数,;
表示从4个不同元素中取出3个元素的排列个数,;
表示从10个不同元素中取出4个元素的排列个数,;
表示从8个不同元素中取出4个元素的排列个数,;
表示从个不同元素中取出2个元素的排列个数.根据前面的经验,可以这样考虑:假定有排好顺序的两个空位,从个不同的元素中取出2个元素去填空,一个空位填上一个元素,每一种填法就得到一个排列;反之,任何一种排列总可以由这种填法得到.因此,所有不同填法的种数就是排列数.完成“填空”这件事可以分两个步骤:
第1步,填第1个位置的元素,可以从这个不同元素中任选1个,有种选法;
第2步,填第2个位置的元素,可以从剩下的个元素中任选1个,有种选法.
根据分步乘法计数原理,2个空位的填法种数为.
同理可得.
教师追问:你能通过这种方法得出的表达式吗?
学生独立思考分析并展示结果.
.
教师引导学生理解公式:
(1)从开始依次递减连续个正整数的积;
(2)都是正整数,且;
(3)符号表示一个结果,又表示一种运算.
这样,一个问题若是排列问题,就可以用上式求出具体的排列的个数.
说明特例情况,我们把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列.正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示.于是个元素的全排列数公式可以写成.我们规定,.
设计意图:通过让学生计算一些排列数,结合分步乘法计数原理,得出排列数公式,让学生体会从特殊到一般的思维方法,体会公式的形成过程,感受符号语言的简洁美.
三、强化公式,推导新公式
让学生计算下列排列数:
(1);
(2);
(3);
(4).
解:根据排列数公式,可得
(1);
(2);
(3);
(4)!.
学生完成计算后,教师提出问题:观察第(3)题,你有没有发现什么规律?
学生猜测出一般结论:.
让学生尝试证明并展示,教师点评.
事实上,
设计意图:通过利用排列数公式计算一些排列数,熟悉公式的应用,同时结合运算的过程与运算结果,发现规律,得出排列数的另外一个公式.
四、典型例题
例1在这7个不同元素组成的全排列中,
(1)在首位的有多少种?
(2)前两个位置上依次是的有多少种?
(3)前两个位置上是的有多少种?
解题思路分析:
(1)先满足特殊元素与特殊位置(首位),把放在首位,有1种方法,再让其余6个元素在其余6个位置上作全排列,有种方法.这两个步骤完成以后,就得到所要求的排列.根据分步乘法计数原理,不同方法种数为.
(2)先把分别放在第一、二个位置上,满足,在前两个位置上(顺序固定),有1种方法;再让其余5个元素在其余5个位置上作全排列,有种方法.故不同方法种数为.
(3)先把放在前两个位
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