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《正态分布》教材分析

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：正态分布的特征，概率的表示，正态分布的均值、方差及其含义.

难点：描述正态分布随机变量的概率分布.

三、教科书编写意图及教学建议

服从正态分布的随机变量是连续型随机变量,而连续型随机变量的取值不能一一列举,而且它取任意单点值的概率都是0.因此,需要用新的数学工具来刻画随机变量的分布规律.由于在高中阶段,不研究一般的连续型随机变量,这对学生理解正态分布造成了一定的困难.

在教学中,可以先对下面的问题进行分析,提供解决问题的思路,以帮助学生建立对连续型随机变量的直观认识,为理解正态分布作铺垫.

问题:在某城市一个有红绿灯的路口,红灯持续,绿灯持续,交替循环.小明骑车来到这个路口,求他遇到绿灯的概率.

由直观容易得出“遇到绿灯”的概率为.但如何用概率模型来描述这个问题呢?

由于来到路口的时刻具有随机性,这个时刻位于红绿灯一个循环周期内.如下图,设点的坐标为点的坐标为40,点的坐标为100,用分别表示红灯和绿灯持续的时间,小明来到路口的时刻落在线段上.假设落在下图任意一个小区间内的概率,只与这个小区间的长度成正比.当且仅当落在线段上时,事件“遇到绿灯”发生.因此“遇到绿灯”的概率可用线段的长度与线段的长度之比来刻画.

用随机变量的观点描述如下:样本空间为,定义随机变量为小明来到路口的时刻,则是一个连续型随机变量,它的取值充满服从均匀分布,可以用函数（称为密度函数）

描述随机变量的分布,落在内的概率用下图中小矩形的面积表示.事件遇到绿灯,所以

.

对于连续型随机变量.一般关注的是随机变量取值落入某个区间内的概率，这个概率用区间上方与密度曲线下方这个区域的面积表示，即

.

1.构建正态分布模型

教科书提供了100个袋装食盐的质量误差数据,将其看成对误差变量的100次观测值.用频率分布直方图可以直观表示这100个数据的分布情况，其中每个小矩形的面积表示落在相应区间内的频率,所有小矩形面积之和为1.设想当观测数据越来越多时.根据频率稳定到概率的原理,就可以用一个非负函数来描述随机变量取值的概率分布,且该函数的图象与轴之间的面积为1.称这样的函数为随机变量的密度函数,概率模型由密度函数完全确定.

在教学中,可以利用信息技术工具产生服从正态分布的随机数,对不同样本量的数据,画直方图并观察图形的变化,由频率直方图过渡到正态密度曲线.通过学生的独立思考、互相交流、师生共同概括总结,使学生领悟描述连续型随机变量概率分布的思想方法.

2.正态分布的研究路径

教科书按如下路径研究正态分布:

构建正态分布模型—正态分布的定义—概率的表示—正态密度曲线的特征—参数的意义—简单应用.

对于连续型随机变量,需要用一个密度函数来刻画随机变量的概率分布.若,且曲线与轴围成的面积为1,则称为随机变量的密度函数.由于服从正态分布的随机变量取任何单点的概率为0,因此随机变量取值落在内的概率都相等.通过观察了解正态密度曲线的特征，包括单峰、对称、以轴为渐近线等.通过分析和图示,了解正态分布中参数的变化对曲线的影响,以及服从正态分布的变量的均值和方差的意义.

3.分布参数的意义

正态分布的密度函数中含有两个参数.由函数知识可知，,

是曲线的对称轴,是分布的中心位置,当参数固定时,的变化只影响曲线的对称轴位置,

所以称为位置参数.根据随机变量均值的意义,有.而的大小决定了曲线峰值的高低,因此的变化影响曲线的形状,所以称为形状参数.当较小时分布比较集中,当较大时分布比较分散.根据方差的意义,实际上有或.

由正态分布的原则可以看出,任何一个正态分布,用其形状参数作为尺度都具有相同

的规律,因此也称为尺度参数.

作为教师应知道以下结果：如果,则一定服从标准正态分布,即.

4.例题及其教学

例1是一个用概率进行决策的实际问题.在教学中,可以设计如下的问题串引导学生思考,并得出结论:

（1）如何确定变量和的具体分布?

正态分布由两个参数完全确定,在实际问题中,可以分别用样本均值和样本方差估计参数.

（2）已知正态分布的两个参数值,如何画密度曲线的草图?

根据参数的值确定对称轴,根据参数确定曲线的峰值,再根据总面积为1，原则及轴为渐近线,大致画出曲线.手绘曲线的草图,虽然不太精确,但这个过程对进一步认识曲线的特征及参数意义是一个很好的训练.

（3）在选择交通工具的决策中,应依据什么准则?

在这个问题中,决策准则是选择能按时到校概率大的交通工具.

（4）在有可用时,要比较哪两个事件的概率?这两个概率如何表示?

在有可用时,比较和