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《离散型随机变量的数字特征》教材分析

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：离散型随机变量均值和方差的意义、性质及应用.

难点：对离散型随机变量均值、方差的意义的理解.

三、教科书编写意图及教学建议

离散型随机变量的分布列全面地描述了随机变量取值的概率规律.但在实际问题中，我们需要用一些数值，集中反映随机变量在某个方面的特征，这些数值统称为随机变量的数字特征.本节主要讨论离散型随机变量的均值和方差.

7.3.1离散型随机变量的均值

1.离散型随机变量均值的定义

我们的目的是构造一个数值,用来描述随机变量取值的平均水平.设取有限个值的离散型随机变量,它的分布列为.可以直接构造以为的权重的加权平均数,来描述取值的平均水平.由于随机变量的均值和方差都是度量性的概念,而度量因比较而产生,因此教科书并未直接给出均值的定义,而是以比较两名运动员的射箭水平为问题情境,以频率稳定到概率为依据,由观测值的频率分布稳定到的分布列,观测值的平均数（样本均值）稳定到,将样本均值的稳定值定义为随机变量的均值.这种方法揭示了样本均值与随机变量均值（总体均值）的关系,为用样本均值估计随机变量均值提供了依据.随机变量的均值（数学期望）是样本均值的稳定值,它是客观存在的.如果随机变量的分布列已知,期望值唯一确定；如果随机变量的分布列未知,可由样本均值进行估计.

2.随机变量的均值与样本均值的联系与区别

了解随机变量均值与样本均值的关系，可以进一步深入理解随机变量均值的意义.为此教科书设置了一个观察栏目，以掷骰子为例，已知出现点数X的均值为3.5，利用计算机模拟掷骰子重复60次和300次的试验各进行6组，用图形表示掷出点数的平均数.观察图形可以看到，掷出点数的平均数具有随机性，但随着试验次数的增大，点数的平均数逐渐稳定到3.5.实际上，

频率稳定到概率是样本均值稳定到随机变量均值的特殊情形.在教学中，还可以再多进行几次模拟试验，类比事件的频率稳定到概率，了解样本均值的特点及其与随机变量均值的关系，如图所示.

3.离散型随机变量均值的性质

随机变量的均值有许多性质,我们主要研究其线性运算性质.该性质根据定义不难直接证明.在教学中,可引导学生类比平均数的性质或根据均值的意义,先猜出结果再计算证明.在后面的学习中,包括求随机变量的均值、方差及探究方差的性质，都可以进行这方面的训练,这是培养学生直观想象素养的重要途径.

在教学中,教师可根据学情向学生提出以下问题:设都是离散型随机变量,如何求?让学生根据均值的意义,猜出结果.也可以进行掷两枚骰子的试验,通过求点数之和的均值,发现结论.一般地,有.

4.例题及其教学

例1的教学重点是通过教学活动使学生认识到,对于一般的分布,均值就是事件的概率,样本均值是事件发生的频率.对于随机事件,设.令

则服从两点分布,且

.

对进行次观测,得到一组样本数据,每个只取0或1这两个值之一,假设其中有个个0,则样本均值.

例2是一个服从离散型均匀分布的随机变量的特例,其均值为可能取值的算术平均值.一般地,如果的分布列为,那么.

例3和例4都是概率决策问题,概率决策问题也称为风险决策.设置例3和例4的意图是通过解决实际问题,了解风险决策的原则及一般方法.

对于例3,选择不同的猜歌顺序,的分布列是不同的,不能直接进行比较,所以决策的原则是选择期望值大的猜歌顺序,这称为期望值原则.猜对的概率大表示比较容易猜,猜对的概率小表示比较难猜.对于教科书边空中的问题，可以让学生列出所有不同的猜歌顺序,分别求出的分布列和均值,通过比较进行验证.实际上,猜3首歌有6种不同的顺序,不同顺序及其如表所示.

可以发现，按由易到难的顺序猜歌，得到公益基金的期望值最大.

例4也是利用期望值决策的问题.在教学中，重点是使学生领悟利用期望值决策的思想方法，同时也要了解期望值决策的局限性，随机变量的期望是一个理论上的均值，如果是大量重复地就同样的问题进行决策，期望值原则是一个合理的决策原则.例如，保险公司面对众多的客户，每份保单需要理赔金额的期望值对制定合理的保险费率具有重要的参考意义.如果是一次性决策的话，可以采用期望值原则决策，也可以采用其他的决策原则.

7.3.2离散型随机变量的方差

1.离散型随机变量方差的定义

教科书以比较两名同学的射击水平为问题情境，从直观判断到定量刻画，给出离散型随机变量方差的定义.根据射击命中环数的分布列比较射击水平，首先要比较均值，在均值大致相同的情形下，需要进一步比较稳定性.直观上看，命中环数的概率分布越集中于均值附近，表示射击水平越