空间向量专题：利用空间向量解决4类动点探究问题（解析版）_1.docxVIP

利用空间向量解决4类动点探究问题

一、与空间向量有关的探索性问题

一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直，

另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或为面交满足特定要求是的存在性问题。

二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：

（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。

（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。

三、动点的设法（减少变量数量）

在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而(x

1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；

依据：根据平面向量共线定理—若，使得

【示例】已知，，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，

方法如下：，

因为在上，所以

∴，

所以可设点.

2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。

依据：平面向量基本定理—若，不共线，则平面上任意一个向量，均存在，，使得

【示例】已知，，，则平面上某点坐标可用两个变量表示，

方法如下：，，

故，即

所以可设点.

题型一平行问题中的动点探究

【例1】（2023春·江西吉安·高二宁冈中学校考期末）如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．

（1）若，求该几何体的体积；

（2）若AE垂直PD于E，证明：；

（3）在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在．

【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系，

则，，

，

，

此时；

（2），

，；

（3）由，E点的竖坐标为，点的竖坐标为，

设，由，得，存在．

【变式1-1】（2022秋·天津蓟州·高二校考阶段练习）如图，长方体中，，，

（1）求证：平面平面;

（2）线段上，是否存在点，使得平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在.

【解析】（1）因为长方体，所以，，两两垂直，

以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系：

由题知,

则，

设平面的法向量为，则，解得，

设平面的法向量为，则，解得，

因为，所以平面平面.

（2）设线段上存在点使得平面，

由（1）得，，平面的法向量，

所以，

由解得，

即为线段中点时，平面.

【变式1-2】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，，，．M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）线段上是否存在点Q，使得平面？

【答案】（1）；（2）存在

【解析】（1）以A为原点，AC，AB，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，C，M的坐标分别为，，，

所以，．

设是平面的法向量，则，

即，所以，

取，则，，

所以是平面的一个法向量．

P点坐标为，所以．

设与平面所成的角为θ，则．

（2）由，N的坐标分别为，，故，

设，则，得，

又P点坐标为，所以直线PQ的一个方向向量，

若平面，需，从而，

即，解得，这样的点P存在．

所以线段上存在点Q，使得平面，

此时，Q为线段上靠近点N的三等分点．

【变式1-3】（2022·高二课时练习）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】存在，为的中点.

【解析】当为的中点时，平面平面．

证明如下：设符合题意．连接，，．

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，

则，，，，，

∴，，．

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，，

∴平面的一个法向量为．

若平面平面，则也是平面的一个法向量．

∵，∴，∴，

又，

∴当为的中点时，平面平面．

题型二垂直问题中的动点探究

【例2】（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期末）如图，在直三棱柱-中，3，=4，5，

（1）求证；

（2）在上是否存在点，使得并说明理由

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析

【解析】（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，

AC?BC?CC1两两垂直，以C为坐标原点，

、、分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，如下图示：

则，，，，

，，

，，.

（2）假设在上存在点，使得，利用上式所建的空间直角坐标系，

设，则，其中，

于是，又，

由得：，解得，此时，.

在上存在点，使得，点与点重合.

【变式2-1】（2023春·高二课时练习）如图，四棱锥中，为矩形，，且．为上一点，且．

（1）求证：平面；

（2）分别在线段上的点，是否存在，使且，