重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法）（原卷版）_1.docxVIP

重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法）

【目录】

考向一：函数零点个数的判断

考法1：方程法判断零点个数

考法2：数形结合法判段函数零点个数

考法3：转化法判断函数零点个数

考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数

考向二：利用零点求参数的值（范围）

考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围

考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数

二、命题规律与备考策略

二、命题规律与备考策略

一、函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

二、利用零点求参数的值（范围）常用的方法

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：

（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；

（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；

（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．

三、题型

三、题型方法

考法1：方程法判断零点个数

一、单选题

1．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知函数，，则在区间上的零点个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、多选题

3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（????）

A．若与图象至多有2个公共点

B．若与图象至少有2个公共点

C．若与图象至多有2个公共点

D．若与图象至少有2个公共点

三、填空题

4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）写出一个同时满足下列3个条件的函数=__．

①是上偶函数；②在上恰有三个零点；③在上单调递增．

5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：

①若，恰有2个零点；

②存在负数，使得恰有1个零点；

③存在负数，使得恰有3个零点；

④存在正数，使得恰有3个零点．

其中所有正确结论的序号是_______．

四、解答题

6．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的函数，，，，求在区间上至少有几个根？

7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明在上有且仅有两个零点.

8．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：

x

0

0

1

0

-1

0

0

0

0

(1)请填写上表的空格处，并画出函数图像

(2)写出函数的解析式，将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的解析式．

(3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．

考法2：数形结合法判段函数零点个数

一、单选题

1．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数，则的零点个数为（????）

A．2023 B．2025 C．2027 D．2029

2．（2023·全国·高三专题练习）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（????）．

A．1348 B．1347 C．1346 D．1345

3．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）函数在上零点的个数为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．（2023·山东日照·统考二模）对于给定的正整数﹐定义在区间上的函数满足：当时，且对任意的，都有．若与n有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于x的方程的实数解的个数为（????）

A．n B． C． D．

二、多选题

5．（2023·山西晋中·统考三模）已知圆，则（????）

A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点

B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等

C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分

D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切

三、填空题

6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．