重难点07空间距离与体积问题（2种考法）（解析版）_1.docxVIP

重难点07空间距离与体积问题（2种考法）

【目录】

考法1：距离问题

考法2：体积问题

二、命题规律与备考策略

二、命题规律与备考策略

一.求点到平面的距离的四步骤

二、常见几何体体积的四种求法

1.直接法求体积（也称公式法）

直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。

可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接找到

2.等体积法求三棱锥体积

1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。

2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。

【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。

3.多面体割补法求体积

1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，

再将其分割没转化成比较好求体积的几何体；

【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥

多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”

2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；

常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；

（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体；

（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；

（4）将台体补成锥体等等。

【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。

4.两部分体积比例法（转移法）

利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。

【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。

三、题型方法考法

三、题型方法

1．（2023?宝山区二模）四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．

（1）求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）证明：OE∥平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．

【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，DF，可得EF∥PA，所以DE与EF所成的角即为DE与PA所成的角，由题意求出EF，DE，DF的值，由余弦定理可得两条直线所成角的余弦值，进而求出角的大小；

（2）由（1）可证得面OEF∥面PAD，进而可证得OE∥面PAD，进而可知E到平面PAD的距离等于O到平面PAD的距离，再由等体积法求出O到平面PAD的距离．

【解答】解：（1）因为PO⊥底面ABCD，BO＝OD，

所以PB＝PD，

又因为PB与底面ABCD所成的角为60°，所以△PBD为等边三角形，

因为E为PB的中点，所以PO＝DE＝PD＝，

因为四边形ABCD边长为2的菱形，∠DAB＝60°，所以△ABD为等边三角形，即BD＝2，

所以DE＝，AO＝，DF＝，

取AB的中点F，连接EF，DF，可得EF∥PA，

所以DE与EF所成的角即为DE与PA所成的角，

则EF＝PA，PA＝＝＝，

所以EF＝，

在△DEF中，cos∠DEF＝＝＝，

所以∠DEF＝arccos，

即异面直线DE与PA所成角的大小为arccos；

（2）证明：连接OF，

由（1）可得OF∥AD，EF∥PA，EF∩OF＝F，

所以面OEF∥面PAD，

因为OE?面OEF，

所以OE∥面PAD；

所以O到面PAD的距离等于E到面PAD的距离，设h，

则VO﹣PAD＝VP﹣AOD，

而VP﹣AOD＝SAOD?PO＝?S△ABD?PO＝?××2×2×，

S△PAD＝PA?＝?3?＝?3?，

所以??3?h＝×?×2×2×，解得h＝，

即点E到平面PAD的距离为．

【点评】本题考查线面平行的证法及面面平行的性质的应用，等体积法求点到面的距离的应用，属于中档题．

2．（2023?黄浦区二模）如图，多面体A1C1D1ABCD是由棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1沿平面A1BC1截去一角所得到在棱A1C1上取一点E，过点D1，C，E的平面交棱BC1于点F．

（1）求证：EF∥A1B；

（2）若C1E＝2EA1，求点E到平面A1D1CB的距离以及ED1与平面A1D1CB所成角的大小．

【分析】（1）在正方体中可知A1B∥D1C，进而可证得D1C∥面A1BC1，再由线面平行的性质定理可得D1C∥EF，进而可证得EF∥A1B；

（2）由等体积法＝，可得E到面A1D1CB的距离，设线面角，可得角的正弦值，进而求出线面角的大小．

【解答】解：（1）证明：在正方体中，A1D1∥BC，且A1D1＝BC，

所以四边形A1D1CB为平行四边形，所以A1B∥D1C，

而D1C?面A1BC1，A1B?面A1BC1，

所以D1C∥面A1BC1，

又因为D1C?面EFCD1，面A1BC1∩面EFCD1＝EF，

所以D1C∥EF，

所以EF∥A1B；

（2）点E到平面A