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浅论“SSA”三角形全等定理

众所周知，三角形全等是初中数学平面几何的基础，是研究三角形和四边形的

有力工具，是证明线段相等、角相等的最常用、最基本方法，在数学推理中有

着极其广泛的应用。证明两个三角形全等，根据已知条件的不同，我们可以选

择“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”来证明，对于证明两个直角三角形

全等，除了前面所述的四种方法，还可以用“HL”来证明。

三角形“SSA”全等定理是否存在呢？笔者在一个偶然的机会，在辅导

一名刚毕业的大学生参考叙永县人民教师过程中，这名大学生用了“SSA”来证

明了三角形全等。我看了说，这恐怕不行吧！他便例举了大量的图示来说明他

这种做法是对的。我一时说不服他，也画了一些图示来说明他是错的。于是我

们争论起来，直到前些日子，方才罢了。

笔者查阅有关资料发现：1981年《数学教师》（译文）已发表了两篇

文章论述了这个定理。尽管，这些文章没有对我们初中教材产生多大影响，但

在现行的一些数学资料中已恰当指出：以一般形式表示的“SSA”条件，是不能

用来证明任何条件下的三角形全等的。，而在一定条件下，“SSA”定理是能够

用来论证三角形全等的。

笔者认为，“SSA”定理可以用两种形式来表述，其中较为特殊的一种

表述是：如果一个三角形的两条边和一个不为锐角的非夹角与另一个三角形的

两边和一个非夹角对应相等，那么这两个三角形全等。这就是说，如果以A表

示的夹角是直角或钝角，那么“SSA”条件就能保证两个三角形全等。

第二种表述是：如果一个三角形的两边和其中较大边（或等边）所对

的角与另一个三角形的两边和对应角相等，那么这两个三角形全等。在这种表

述中，要强调的是：两边中较大的边应是非夹角的对边。就是说，如果第一个

S所表示的边大于或等于第二个S所表示的边，而角A是第一个S所表示的对

角。那么“SSA”条件就能保证两个三角形全等。

直角三角形“HL”全等定理就是“SSA”定理的一个特例。因为斜边总

是直角三角形的任意两边中较大的边，这里的斜边就是第一个S，直角就是角

A。

实际上，我们利用初中知识就可以论证“SSA”的正确性。题目及论证

过程如下：

已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠C=∠F,AB=DE,AC=DF,AB≥AC

求证：△ABC≌△DEF。

一些三角形问题，若利用“SSA”三角形全等定理就很容易解，否则，

解起来是非常困难的，看下面的两个问题。

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知，三角形全等是初中数学平面几何的基础，是研究三角形和四边形的有力工

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/data/lwxz/问题一、已知：如图，在以点

O为圆心的两个同心圆中，点P、A在小圆O上，点B、Q在大圆O上，且∠A

∠P

求证：△OAB≌△OPQ。

证明：因为在两个同心圆中，外圆的半径总是大于小圆的半径，故在

△OAB与△OPQ中：

∵OP=OA,OB=OQ,∠A=∠P

又OQ＞OP,OB＞OA

∴由“SSA”定理，可得△OAB≌△OPQ.

问题二、已知：如图，△ABC中，AB=AC,点B是△ABC内的一点，

且∠APB=∠APC。

求证：△ABC的BC边上的中线在射线AP上。

应用“SSA”三角形全等定理，该问题是容易证明的，这里就省略了。

笔者从事初中数学教学十多年了，不管是什么版本的教材，都未详细

提及过此问，我希望看到“SSA”三角形全等定理在初中教材《全等三角形》一

章中给它以恰当的位置，因为我认为重要的是要让学生知道，“SSA”三角形全

等定理是存在的，并且懂得证明这个定理本身就是一个极好的数学方法。