2023-2024学年北京市东城区景山学校高三（上）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年北京市东城区景山学校高三（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{﹣3，1，2，4}，则A∩B等于（）

A．{﹣3，1} B．{2，4} C．{1，2，4} D．{﹣3，1，2}

2．复数z满足z=2-ii，则|z

A．1 B．3 C．2 D．5

3．下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数的是（）

A．y＝x+2 B．y＝x+x3 C．y＝sinx D．y＝2x

4．已知向量a→=(-2，1)，

A．6 B．﹣6 C．-32 D

5．经过原点和点（3，﹣1）且圆心在直线3x+y﹣5＝0上的圆的方程为（）

A．（x﹣5）2+（y+10）2＝125 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5

C．（x﹣3）2+y2＝9 D．(x

6．在△ABC中，“tanA＞3”是“

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知a=e12，b=ln

A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b

8．已知直线y＝kx+1与圆x2﹣4x+y2＝0相交于M，N两点，且|MN|≥23

A．-4≤k≤-1

C．k≥0或k≤-43

9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）在[-π3，π

A．35 B．75 C．95

10．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下说法中不正确的是（）

A．当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变

B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[π

C．若F是A1B1的中点，点P在底面ABCD上运动时，不存在点P满足PF∥平面B1CD1

D．若点P在四边形ABCD内运动，则使直线A1P与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹为圆上的一段弧

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．函数f（x）=3-x+ln（x﹣1）的定义域是

12．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|+|PF2

13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+2＝2an，S2＝3a1＝3，则a5＝；若Sm＞30，则m的最小值为．

14．设函数f(x)=-x+a，x≤1-a(x-2)2+1，x＞1，若f

15．已知直线l1：x+y﹣2＝0与l2：x﹣2y+1＝0相交于点P，直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，…，P2，Q2，…，记点Pn(n∈N*)的横坐标构成数列

①点Q2

②数列{x2n}单调递减；

③|PP

④数列{xn}的前n项和Sn满足：2Sn+1+Sn＝4n+3．

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）

16．（10分）已知△ABC中，a2

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若c=3+1，再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△

条件①sinA=12；条件②b＝2；条件③

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

17．（15分）已知函数f(x)=23sinxcosx+2sin

（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若x∈[0，m]，且f（x）≥0，求实数m的最大值．

18．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AA1＝AB＝AC＝2，D，E，F分别是棱B1C1，AC，BC的中点．

（Ⅰ）证明：AD∥平面C1EF；

（Ⅱ）求平面ADE与平面C1EF夹角的余弦值．

19．（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）过点P（1，0）的任意直线与椭圆C交于M，N（不同于A1，A2，A2）两点，直线A1M的斜率为k1，直线A2N的斜率为k2．试问是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

20．（15分）已知函数f(x)=ln(ax)-

（Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点(1

（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅲ）当a＝1时，设g（x）＝f（x）+t，若g（x）有两个不同的零点，求参数t的取值范围．

21．（15分）已知{an}