《等差数列---等差数列的前n项和公式》教材分析.docxVIP

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《等差数列等差数列的前n项和公式》教材分析

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：等差数列的定义，等差数列的通项公式、前n项和公式及它们的应用.

难点：等差数列的前n项和公式的推导.

三、教科书编写意图及教学建议

节引言帮助学生建构了等差数列的研究思路，即解决了“为什么学”和“学什么”的问题至于“怎么学”是在本节中结合具体内容的学习进行渗透的，对于为什么要学习等差数列以及学什么，教科书是基于“数列是一种特殊的函数”，通过类比函数的研究路径来解答的，即在学习了数列的一般概念后，与研究函数的思路类似，要对一些具有特殊变化规律的数列进行研究.这样既可以加深对数列的理解，又可以掌握一些有用的数列模型，它们既是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用.而本节是从一类取值规律比较简单的数列开始的.

4.2.2等差数列的前n项和公式

1.等差数列的前n项和公式的推导

教科书把等差数列的前n项和公式看成了等差数列的一个性质，即这个公式是可以根据前面学习的等差数列的概念、通项公式和性质推导出来的，应该怎样推导呢？历史上出现过的最简便的方法可能是“倒序相加法”，这也是一个被广泛引用的方法.古代数学家们是如何想到这种方法的，我们已经无从知道，但有一点却是肯定的这种方法建立在对等差数列深入理解的基础上，即掌握等差数列的某些性质的基础上.

基于上述认识，教科书创设了一条探究等差数列前n项和公式的路径，让学生经历利用等差数列的性质推导出“倒序相加法”的过程，不仅使这一方法的引入更加自然，而且把提高“四能”渗透其中，过程大致如下:

（1）以高斯求1，2，3，…，100的和的故事创设情境.选择这个故事，一是它有趣且著名，很多学生已经对它耳熟能详；二是以1，2，3，…，100为对象展现的“首尾配对”的求和过程非常直观；第三点也是最重要的，高斯算法与“倒序相加法”的思想是一样的，都是把不同数求和转化成相同数求和，都利用了上一小节例5中的性质.

（2）通过思考栏目，让学生探究高斯算法中蕴含的数学思想.事实上，数列1，2，3，…，n，…的性质具有一般性，或者说，这些性质可以方便地推广到一般的等差数列中去，因此，研究清楚高斯算法到底利用了数列1，2，3，…，n，…的什么性质，我们就可以非常方便地把高斯算法推广为求1，2，3，…，n，…的前n项和的方法，并进一步推广到求一般等差数列的前n项和上去.另外，由可知，求一般等差数列的前项和的问题都可以转化成求1，2，3，…，，…的前项和的问题，这也说明求1，2，3，…，，…的前项和，可以作为研究等差数列求和问题的一个基础.

为了便于探究性质，教科书再次用符号代替具体的数（探究等差数列的取值规律时也是这样做的），从而发现了高斯求和过程中的“秘密”，即利用性质：即上一小节例5中的性质的一个特殊情形，从而把不同数求和转化成相同数求和.

（3）教科书把高斯算法推广到求数列1，2，3，…，n，…的前n项和.由于推广的指导思想就是高斯算法的思想，即利用上一小节例5中的性质把不同数求和转化成相同数求和，所以学生不难独立完成这次推广，难点在于要对项数n分奇偶讨论，以及处理一般化的符号.

为了降低难度，教学中，可以先让学生解决教科书第18页“边空”中的问题“你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？”，这实际上是项数n为奇数时的一个特殊情况，需要确定配对后的余项，即中间项（51）；然后，再思考项数n为一般正整数时的情况.这样，学生就不难想到要对项数n分奇偶讨论了.当处理项数n为一般正整数的情况时，难点是用符号表示中间若干项的序号.教学时，应该在“中间项的序号如何用n表示”上加强引导，必要时可以让学生借助具体的数进行尝试.

（4）教科书设置了一个思考栏目，让学生思考如何避免对n分奇偶进行讨论，这就为引出倒序相加法”提供了契机.考虑到学生很难自己提出“倒序相加法”，教科书提出了一个可能发现“倒序相加法”的思路在的两边同乘以2，得到，这相当于把两个相加，而结果变成n个相加.在这个等式的启发下，想到用“倒序相加法”求1+2+3+…+n，这样的引导，展现了数学发现中的“触类旁通”“灵感”等要素，为学生分析问题和解决问题作出了示范.

（5）教科书设置了一个探究栏目，让学生体会“倒序相加法”的妙处，并把它推广到求一般等差数列的前n项和.

2.对等差数列的前n项和公式的理解

在得到等差数列的前项和公式以后，教科书在“边空”的提示中对这个公式进行了解读：等差数列的前项和等于前项的平均数的倍，而前项的平均数等于首项与末项的平均数.值得