24.1.3 弧、弦、圆心角（导学案）-2024-2025学年九年级数学上册同步备课系列（人教版）（解析版）.docx

24.1.3弧、弦、圆心角

学习目标：

1）经过观察、讨论、发现圆的旋转不变性和中心对称性。

2）经过观察、讨论、推理了解圆心角、弧、弦之间的关系。

学习重点：理解圆心角、弧、弦之间的关系。

学习难点：利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算。

学习过程

1）课前导入

【猜想1】你觉得圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？圆是中心对称图形，对称中心是圆心

【猜想2】尝试把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？可以

2）课堂探究

一、探索圆的旋转不变性和中心对称性

【动手操作】剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转任意角度呢？你发现了什么？

结论：一个圆绕圆心旋转任意角度，所得图形和原图形重合。

【动手操作】剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？

结论：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。

二、理解圆心角的概念

圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆心角的判断方法：观察顶点是否在圆心。

【问题一】找出⊙Ｏ中的圆心角？

答案：∠AOC、∠BOC

【问题二】∠ABC是不是圆心角？并说明原因？

答案：不是，顶点不在圆心

【问题三】判断下列哪个图形为圆心角？

答案：第四个为圆心角

三、探究弧、弦、圆心角之间的关系

【问题四】任意圆心角，对应出现三个量：圆心角、弧、弦

【猜想3】这三个量之间会有什么关系呢？

1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

2）在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。

3)在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对优弧和劣弧分别相等。

小结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

【问题五】上述结论中“同圆或等圆”的条件能少吗？

不能少，理由：如图右图，已知∠COD=∠AOB

但是线段CD不等于线段AB，弧CD也不等于弧AB。

【概念理解】

1．如果两个圆心角相等，那么（）

A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等

C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对

【解析】

因为在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦以及弦心距相等,本题中题设中缺少”同圆或等圆”这一条件,故选D.

2.在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（）

A．这两条弦所对的弦心距相等 B．这两条弦所对的圆心角相等

C．这两条弦所对的弧相等 D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分

【详解】

A.这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；

B.这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；

C.这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；

D.这两条弦都被垂直于弦的半径平分(垂径定理)，原说法正确，故本选项正确；

故选D.

3.已知，如图，∠AOB=∠

A．AB=CD B．

C．△AOB≌△COD D

【详解】

解：∵∠AOB=∠COD

∴A、B、C

下列说法中正确的是（）

A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弧所对的圆心角相等

C．相等的弦所对的弦心距相等 D．弦心距相等，则弦相等

【详解】

解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此说法错误，不符合题意；

B、相等的弧所对的圆心角相等，故此说法正确，符合题意；

C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等，故此说法错误，不符合题意；

D、在同圆或等圆中，弦心距相等，则弦相等，故此说法错误，不符合题意．

故选：B．

【练一练】

1．如图，AB是⊙O的弦，点C是AB的中点，OC交AB于点D．若AB=8，⊙O的半径为5，则CD=（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【详解】解：如图，连接OA，OB，

∵C是AB的中点，

∴AC=CB，

∴∠AOC=∠BOC，

又∵OA=OB=5，AB=8，

∴OC⊥AB，AD=BD=12AB=4

在Rt△AOD中

由勾股定理得：OD=AO

∴CD=OC-OD=5-3=2．

故选：B．

2．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD=36°，则∠

A．30° B．36° C．54°

【详解】解：∵弧BC、弧CD与弧DE相等，

∴∠COB=

∴∠AOE=180

又∵OE=OA，

∴∠OEA=∠

故选：C．

3．如图，AB是⊙O的直径，AC=3BC，则∠

A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°

【详解】如图，连接OC

∵AC

∴AC

∴∠AOC=

∵OA=OC

∴∠BAC=

故选：A

4．如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB=DC，则下列结论不一定成立的是（????

A． B．∠AOB=

C．AB=DC D．O到AB、