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考点1平行四边的性质和判定
1.定义:两组对边分别平行或相等的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的定义既是性质,又是判定.
2.平行四边形的性质:
(1)对边平行且相等;
如图,在中,,,=,=,
(2)对角相等;邻角互补;
如图,=,=,+=180,+=180,
(3)对角线互相平分;
如图,,,
(4)是中心对称图形.如图,对称中心是对角线的交点O.
(5)S平行四边形=底×高
3.平行四边形的判定
元素
文字表述
图形表述
符号表述
边
两组对边分别平行四边形是平行四边形
∵
∴
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
∵,,
∴
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵,=,
∴
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵=,=,
∴
任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形
∵+=180,+=180,
∴
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵=,=,
∴
考点2两条平行线之间的距离
1.定义:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.
2.性质:
(1)两条平行线之间的距离处处相等;
(2)夹在两条平行线间的平行线段相等.
考点3三角形的中位线及其定理
1.定义:连接三角形两边中点的线段(任意一个三角形都有三条中位线).
2.定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
考点4矩形的性质和判定
1.矩形的定义:
(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也称为长方形.
(2)矩形的定义有两个要素:
①四边形是平行四边形;
②有一个角是直角.
二者缺一不可.
2.矩形的性质
(1)具有平行四边形的所有性质;
(2)四个角都是直角;如图,;
(3)对角线互相平分且相等;如图,,
(4)矩形是轴对称图形,也是中心对称图形.
(5)矩形的面积:S矩形-=长×宽
3.矩形的判定
判定方法
文字表述
图形表述
符号表述
判定方法一
有一个角是直角的平行四边形是矩形
∵=90,
∴矩形
判定方法二
有三个角是直角的四边形是矩形
∵===90,
∴矩形
判定方法三
对角线相等的平行四边形的四边形是矩形
∵=,
∴矩形
考点5直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图,;
【注意】定理的条件有两个:一是直角三角形;二是斜边上的中线.
考点6菱形的性质和判定
1.菱形的定义:
(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形必须满足两个条件:一是四边形必须是平行四边形;二是邻边相等.不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形.
(2)菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形,即有一组邻边相等的平行四边形.菱形的定义既是菱形的性质,也是菱形的判定方法.
2.菱形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质;
(2)四条边相等;如图,;
(3)两条对角线垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角;如图,;
(4)菱形是轴对称图形,也是中心对称图形.
(5)菱形的面积:S菱形=底×高=
4.菱形的判定
判定方法
文字表述
图形表述
符号表述
判定方法一
一组邻边相等的平行四边形是菱形
∵,
∴菱形
判定方法二
四条边相等的四边形是菱形
∵
∴菱形ABCD
判定方法三
对角线垂直的平行四边形是矩形
∵
∴菱形
考点7正方形的性质和判定
1.正方形的定义:
(1)有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
(2)正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思:
①有一组邻边相等的平行四边形(即菱形);
②并且有一个角是直角的平行四边形(即矩形).
(3)正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形.
2.正方形的性质
(1)对边平行;
(2)四个角都是直角;
(3)四条边都相等;
(4)对角线互相垂直且平分,对角线平分对角;
(5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;
(6)正方形是轴对称图形,也是中心对称图形.
(7)面积=边长×边长=;
3.正方形的判定
(1)根据正方形的定义;
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(3)有一个角是直角的菱形是正方形;
(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形.
平行四边形的性质和判定
1.平行四边形性质和判定的联系
平行四边形的性质
平行四边形的判定
平行四边形的两组对边分别平行
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的两组对边分别相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的两组对角分别相等
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的对角线互相平分
对角线互相平分的四边形是平行四边形
2.平行四边形的核心性质
(1)中心对称是平行四边形的核心性质;
(2)对称中心两侧的对应元素都相等;
(3)过对称中心的任意直线,平分平行四边
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