19、二次函数与几何、代数的综合问题.docxVIP

二次函数与几何、代数的综合问题

1．（2023秋?朝阳区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，﹣3），点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，构造矩形PNOM．设点P的横坐标为m，

（1）求该抛物线的解析式．

（2）当点P在x轴上方时，求四边形PNOM的周长C与m的函数关系式．

（3）当该抛物线的顶点和点B到PN所在直线的距离相等时，求m的值．

（4）当抛物线在矩形PNOM内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

2．（2023?潮阳区二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

3．（2023?榆阳区校级一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，﹣1），直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点M是直线l上的动点，当以点M、B、D为顶点的三角形与△ABC相似时，求点M的坐标．

4．（2023?老河口市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）点P是抛物线上位于对称轴左侧x轴上方的一个动点．过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，作x轴的垂线交x轴于点F，过点D作x轴的垂线交x轴于点E，四边形PDEF的周长为l：

①当l最大时，求点P的坐标；

②如图2，当l最大时点P，D的位置分别记为P1，D1，将抛物线y＝﹣x2+bx+c平移，使其顶点始终在直线CP1上，当平移后的抛物线与射线D1C只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点横坐标为n，求n的取值范围．

5．（2023春?南湖区校级月考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．

（1）求该抛物线对应的函数表达式；

（2）若点A在该抛物线上，过点A平行于x轴的直线交该抛物线于另一点B．当AB＝6时，求点A的纵坐标；

（3）已知该抛物线上一点P，其横坐标为m，点Q的坐标为（m﹣4，﹣2m+1），以PQ为对角线构造矩形PMQN，且矩形的边所在直线垂直于坐标轴．

①当该抛物线在矩形PMQN内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出m的值；

②当该抛物线与矩形PMQN的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．

6．（2023?扎兰屯市三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

7．（2023?东湖区校级二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点B位于点A的右侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一动点，横坐标为t．

（1）下列说法正确的是．（填序号）

①抛物线开口向上

②当x＞1时，y随着x的增大而增大

③点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（4，0）

④若点P在x轴下方，则﹣2＜t＜5

（2）如图，若m＝1，点P位于第四象限，过点P作x轴的平行线交BC于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，求PD+PE的线大值及此时点P的坐标．

（3）在（2）中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，F为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以F，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．

8．（2023?南漳县模拟）函数（a为常数，a≠0）．

（1）求出此函数图象的顶点坐标（用含a的式子表示）；

（2）当a＝4时，此函数图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点P为x轴下方图象上一点，过点P作PQ∥y轴交线段BC于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）点M（2a﹣1，﹣a﹣3），N（0，﹣a﹣3），连接MN，当此函数图