数学导学案：2简单的三角恒等变换（第2课时）.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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第2课时三角恒等变换的应用

1．掌握三角恒等变换的方法．

2．会利用三角恒等变换解决三角函数问题．

三角恒等变换

(1)asinα＋bcosα＝______sin(α＋θ)（ab≠0），其中tanθ＝____，a和b的符号确定θ所在的象限．仅仅讨论eq\f(b,a）＝±1、±eq\r（3)、±eq\f（\r（3)，3）的情况．

(2）sin2x＝eq\f（1－cos2x，2），cos2x＝eq\f(1＋cos2x,2）,sinxcosx＝__________.

(3)讨论三角函数的性质时，通常经过三角恒等变换，将三角函数的解析式化为f（x)＝__________的形式来解决．

【做一做1－1】sinx－cosx等于（）

A．sin2x B。eq\r（2)sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（π，4))) C。eq\r（2）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(π,4）)） D．sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（π,4)）)

【做一做1－2】函数y＝sin2xcos2x的最小值等于__________．

答案:(1）eq\r(a2＋b2）eq\f(b，a）(2)eq\f(1，2)sin2x(3)Asin(ωx＋φ)

【做一做1－1】C原式＝eq\r（2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r（2)，2)sinx－\f(\r（2），2)cosx）)

＝eq\r(2）sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(π,4))）.

【做一做1－2】－eq\f（1,2)y＝eq\f（1，2)sin4x，则最小值为－eq\f(1，2）.

三角恒等变换问题

剖析:三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．

三角恒等变形是解决有关三角问题的重要环节,它以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍角公式，和差化积和积化和差公式为基础．在恒等变形中要注意三角函数式中的“角的特点，即有没有特殊角，有没有与特殊角相关联的角,有没有互余、互补的角,角与角之间有没有和、差、倍、半的关系,什么角需要保留，什么角需要化掉等．

在恒等变形中，化简三角函数式是核心，而化简的要求是:尽量减少三角函数式中角的个数（最好只含有相同的角）；尽量减少三角函数式中函数名称的种类（最好只含有同名函数)；在函数名称较多的情况下，最好只保留正弦和余弦;在选择使用三角变换公式时,应根据三角函数式中角的特点选择恰当的公式；在化简过程中，要合理使用代数手段，诸如整式、分式、根式运算以及因式分解．对化简的结果，应该尽量减少项数；尽量减少函数种类和次数；尽量化为整式；对含有特殊角的三角函数要求写出其值来．

题型一讨论三角函数的性质

【例1】已知函数f（x）＝sin2x＋asinxcosx－cos2x，且feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，4））)＝1.

（1)求常数a的值及f（x)的最小值；

(2)当x∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(0,\f(π，2)）)时，求f（x)的单调增区间．

分析：(1）利用feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，4)）)＝1求得a，再将函数f（x)的解析式化为f(x）＝Asin(ωx＋φ)的形式后求出最小值；（2）利用(1)求出函数f(x）在R上的单调增区间，再与eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2））)取交集．

反思：解答此类综合题的关键是利用三角函数的和、差、倍角、半角公式化成f（x)＝Asin（ωx＋φ)的形式，然后借助于三角函数的图象及性质去研究f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．

题型二在实际中的应用

【例2】要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取，才能使长方形截面面积最大？

分析:用三角函数表示长方形的面积,转化为求三角函数式的最大值．

反思:本题中，将长方形面积表示为三角函数式，利用三角恒等变换转化为讨论函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的最值问题，从而使问题得到简化．这个过程蕴涵了化归思想．

题型三易错辨析

【例3】当函数y＝sinx＋eq\r(3）cosx，x∈R取最大值时，求自变量x的取值集合S。

错解：y＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2eq\b\l