数学导学案：二倍角的正弦、余弦、正切公式.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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3。1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

1．会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．

2．灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题．

二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表

三角函数

公式

简记

正弦

sin2α＝________

S（α＋β)

S2α

余弦

cos2α＝cos2α－sin2α＝________＝________

C(α＋β)

C2α

正切

tan2α＝________

T(α＋β）

T2α

对倍角公式的理解:

(1)成立的条件:在公式S2α，C2α中，角α可以为任意角,T2α则只有当α≠eq\f（kπ，2)＋eq\f(π,4)(k∈Z）时才成立．

(2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式,其他如4α是2α的二倍、α是eq\f(α，2）的二倍、3α是eq\f（3α，2)的二倍等等都是适用的．

【做一做1－1】已知sinα＝eq\f（3，5），cosα＝eq\f(4,5），则sin2α等于(）

A.eq\f(7,5） B.eq\f（12,5） C.eq\f（12,25) D.eq\f(24，25)

【做一做1－2】已知cosα＝eq\f（1，3），则cos2α等于（)

A。eq\f（1，3) B.eq\f(2,3） C．－eq\f(7,9) D.eq\f（7,9）

【做一做1－3】已知tanα＝3，则tan2α等于（）

A．6 B．－eq\f（3，4) C．－eq\f(3,8） D。eq\f(9，8）

答案:2sinαcosα2cos2α－11－2sin2αeq\f（2tanα,1－tan2α）

【做一做1－1】Dsin2α＝2sinαcosα＝eq\f(24，25)。

【做一做1－2】Ccos2α＝2cos2α－1＝eq\f（2,9）－1＝－eq\f(7，9）。

【做一做1－3】Btan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α）＝eq\f（2×3,1－32）＝－eq\f(3，4）。

倍角公式的变形公式

剖析：（1）公式的逆用：

2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝eq\f（1，2）sin2α；

cosα＝eq\f(sin2α，2sinα）;

cos2α－sin2α＝cos2α；

eq\f（2tanα,1－tan2α)＝tan2α.

(2）公式的有关变形：

1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα

＝（sinα±cosα）2;

1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；

cos2α＝eq\f（1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f（1－cos2α，2).

(3)升幂和降幂公式

升幂公式：1＋sinα＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（sin\f（α，2)＋cos\f(α,2）））2；

1－sinα＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2）－cos\f(α,2))）2;

1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)；1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)。

降幂公式：

cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2）；sin2α＝eq\f(1－cos2α，2).

题型一利用二倍角公式求值

【例1】求下列各式的值：

（1)coseq\f（π,5）coseq\f（2π，5）;

(2)eq\f(1，2)－cos2eq\f（π,8);

（3)taneq\f(π，12）－eq\f（1，tan\f（π，12））。

分析：第(1）题可根据eq\f（2π，5)是eq\f（π，5)的2倍构造二倍角的公式求值；第(2）（3）题需将所求的式子变形，逆用二倍角公式化简求值．

反思：解决此类题目时,应善于观察三角函数式的特点，变形后正用或逆用公式来解决．本题中，若要求出coseq\f(π，5），coseq\f(2π，5），coseq\f(π,8），taneq\f(π，12)的值，则会使问题复杂化．

题型二知值求值

【例2】已知sinα＝eq\f(5，13），α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,2），π)),求sin2α,cos2α,tan2α的值．

分析：利用同角三角函数的基本关系求出cosα的值,然后利用二倍角公式求出sin2α，cos2α，进而求出tan