24　第五章　5.3　5.3.1　第1课时　函数的单调性.docx

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5.3导数在研究函数中的应用

5.3.1函数的单调性

第1课时函数的单调性

[学习目标]1．理解导数与函数的单调性的关系．(数学抽象)

2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(数学运算)

3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．

[讨论交流]

问题1．函数的单调性与导数有什么关系？

问题2．函数值变化快慢与导数有什么关系？

[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．

探究1利用导数的正负判断单调性

探究问题1已知函数：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它们的导数的正负与它们的单调性之间有怎样的关系？

探究问题2如果函数f(x)在区间(a，b)内有无数个点满足f′(x)＞0，能认为f(x)在这个区间内单调递增吗？

[新知生成]

函数的单调性与其导数的关系

定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：

f′(x)的正负

f(x)的单调性

f′(x)＞0

单调递________

f′(x)＜0

单调递________

[典例讲评]1．利用导数判断下列函数的单调性：

(1)f(x)＝13x3－x2＋2x－5

(2)f(x)＝x－1x－lnx

[尝试解答]

利用导数判断函数单调性的步骤

(1)确定函数的定义域．

(2)求导数f′(x)．

(3)确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形．

(4)得出结论．

[学以致用]1．下列函数在(0，＋∞)上单调递减的是()

A．y＝xex B．y＝x3－3x2

C．y＝lnx－x D．y＝x－ex

探究2利用导数求函数的单调区间

[典例讲评]2．求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝x2－lnx；

(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1．

[思路导引]根据函数解析式求出函数的导函数，根据导函数的符号确定函数单调区间．

[尝试解答]

利用导数求函数单调区间的一般步骤

(1)确定函数y＝f(x)的定义域．

(2)求出导数f′(x)的零点．

(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，进而求出单调区间．

[学以致用]2．求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝x2·e－x；

(2)f(x)＝x＋1x

探究3导函数与原函数的关联图象

[典例讲评]3．(1)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能是()

ABCD

(2)函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()

AB

CD

[