1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 精讲（5大题型）（解析版）_1.docx

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

重点：会用空间向量方法求立体几何中的距离问题、夹角问题。

难点：理解距离和夹角的向量表示及求解方法

一、点到直线的距离

已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq\r(a2－?a·u?2)(如图)．

二、点到平面的距离

已知平面的法向量为,是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）.

注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。

直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

三、异面直线所成角

若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.

四、直线与平面所成角

1、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则.

2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤：

（1）建立适当的空间直角坐标系，

（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标，

（3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角，

（4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角。

3、求两条异面直线所成角的两个关注点

（1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。

（2）范围：异面直线所成角的范围是（0，），故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值。

五、平面与平面的夹角

平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角.

若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.

题型一求点到直线的距离

【例1】（2022秋·陕西西安·高二校考阶段练习）空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（）

A．B．C．3D．

【答案】A

【解析】因为，所以的一个单位方向向量为.

因为，故，,

所以点到直线的距离为.故选：A

【变式1-1】（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为.

【答案】

【解析】，

又，

在方向上的投影，

到l距离．故答案为：．

【变式1-2】（2023秋·湖北·高二统考期末）在棱长为2的正方体中，点E为棱的中点，则点到直线BE的距离为（）

A．3B．C．D．

【答案】C

【解析】如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，

，

点到直线BE的距离为.故选：C.

【变式1-3】（2023·江苏·高二专题练习）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】如图建立空间直角坐标系，则，

所以，

所以，

所以点到直线的距离是

.故选：D.

题型二求点到平面的距离

【例2】（2022秋·北京·高二北京市师达中学校考阶段练习）已知，则原点到平面的距离是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

设其法向量为，取得

又故选：A

【变式2-1】（2023春·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面为的中点，点在平面内，且平面，则点到面的距离为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，

，

由点在平面内，则可设，

所以，故

因为平面，所以，

解得，所以，

又因平面与面重合，

所以点到面的距离为.故选：B.

【变式2-2】（2023春·四川凉山·高二校考阶段练习）如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在上，且，则点到平面的距离为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

所以，

设平面的法向量为

则.

所以点B到平面的距离.故选：C

【变式2-3】（2022秋·云南楚雄·高二校考阶段练习）在如图所示的五面体中，平面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）由题分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，

所以，

平面的一个法向量为，

所以，即，

又平面，所以平面；

（2），

设平面的法向量为

，即，取得到，

又，设点到平面距离