6.3　6.3.5　平面向量数量积的坐标表示.pptx

6.3平面向量基本定理及坐标表示

6.3.5平面向量数量积的坐标表示;课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积.2.会表示两个平面向量的夹角.3.能用坐标表示平面向量垂直的条件．

教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示．

教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题．

核心素养：1.通过平面向量数量积的坐标表示的推导过程培养逻辑推理素养和数学运算素养.2.通过运用平面向量数量积的坐标表示来解决模、角度、垂直等问题进一步提升数学运算素养.;1;知识点一两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．;知识点二三个重要公式; 平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：

(1)求两点间的距离(求向量的模)．

(2)求两向量的夹角．

(3)证明两向量垂直．;1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()

(2)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.()

(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ0，则两向量的夹角θ一定是钝角．();2．做一做

(1)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a与b的夹角θ的余弦值为();(2)若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为________.;2;例1(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()

A．－1 B．0

C．1 D．2;答案;解析; 平面向量数量积坐标运算的技巧

(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．

(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．;[跟踪训练1]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：

(1)向量a的坐标；

(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.;例2(1)(2023·北京高考)已知向量a，b满足a＋b＝(2,3)，a－b＝(－2,1)，则|a|2－|b|2＝()

A．－2 B．－1

C．0 D???1;(2)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________.; 求平面向量的模的两种基本策略

(1)字母表示下的运算

利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．

(2)坐标表示下的运算

;[跟踪训练2](1)已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.;(2)已知a＝(2,1)与b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为________.;例3(1)(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2,2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝();解;

1．求两个非零向量夹角的步骤

若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

(1)求出a·b＝x1x2＋y1y2；

;2．与夹角有关问题的注意事项

(1)两向量的夹角θ的取值范围为[0，π]；

(2)cosθ0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；

(3)cosθ0有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0；

;[跟踪训练3]已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.

(1)求b与c；

(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与n的夹角的大小．;解;例4已知向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中α∈R.

(1)若m⊥n，求α；;解;解; 解决平面向量数量积与三角函数综合问题的基本思路

先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可．解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决．;解;解;3;1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于();2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝();解析;答案;答案;5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.

(1)若a⊥b，求x的值；

(2)若a∥b，求|a－b|.;解;4;一、选