第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题(精讲）（解析版）_1.docx

第07讲向量法求距离、探索性及折叠问题

目录

TOC\o1-2\h\u第一部分：知识点必背 1

第二部分：高频考点一遍过 2

高频考点一：利用空间向量求点到直线的距离 2

高频考点二：利用空间向量求点到平面的距离 11

高频考点三：立体几何中的折叠问题 25

高频考点四：立体几何综合问题 41

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第一部分：知识点必背

知识点一：点到直线的距离

已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：

知识点二：点到平面的距离

如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：利用空间向量求点到直线的距离

典型例题

例题1．（2023秋·湖北·高二统考期末）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，则点到直线的距离为（????）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【详解】如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，

，点到直线BE的距离为.

故选：C.

例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是______．

【答案】/

【详解】因为平面，底面为正方形，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则点、、，

，，，

所以，，

所以，的中点到直线的距离.

故答案为：.

例题3．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______．

【答案】/1.5

【详解】

连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，，为异面直线与所成角，即.

在菱形中，，，，．设，则，．在中，由，，可得，

，，，，，

点到直线的距离为.

故答案为：.

例题4．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱的棱长均为2，，．

(1)证明：平面平面；

(2)设为侧棱上的点，若平面与平面夹角的余弦值为，求点到直线距离．

【答案】(1)见解析

(2)

【详解】（1）取AC的中点O，连接，，，所以由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以，

由，，所以所以平面ABC；

平面,所以平面平面ABC；

（2）以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

所以

设可得，

设平面的法向量为则

即取

所以因为为平面ABC的一个法向量，

设平面与平面ABC夹角为，

解得，所以

所以点M到直线距离

练透核心考点

1．（2023·江苏南京·统考二模）在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．

(1)求证：；

(2)若点到直线的距离为，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1），，

，故，则，即，

又平面平面，平面平面，

，平面，故平面，

平面，则，

又，，平面，所以平面，

又平面，则.

（2）设中点为，中点为，以为轴建立空间直角坐标系，

如图所示：

有，

设，则，设，则，

则，，，

点到直线的距离为，则，

即，即，解得，

所以.

2．（2023·吉林·统考模拟预测）如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥.

(1)若平面平面，求证：；

(2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）证明：在梯形中，因为且，

所以四边形是平行四边形，所以，

又因为平面，且平面，所以平面，

因为平面，且平面平面，所以.

（2）解：取中点，连接，因为是等边三角形，可得

以为原点，所在直线为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，

则，

所以，，，且，

则点到直线的距离

因为，所以当时，；

当时，，所以点到直线的距离的取值范围是.

3．（2023秋·辽宁锦州·高二渤海大学附属高级中学校考期末）如图，平行六面体中，底面是菱形，且.

(1)求与所成角的余弦值；

(2)若空间有一点P满足：，求点P到直线的距离.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）解：因为，，

所以，同理可得，，

因为，

所以，

，

所以

，

所以，

，

与所成角的余弦值是；

（2）解：因为，，

所以，

在菱形中，，

则为等边三角形，所以，

所以

，

则点到直线的距离.

4．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为4，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为___