第11讲 高考难点突破三：圆锥曲线的综合问题（最值、范围问题） (精讲）（解析版）_1.docxVIP

第11讲高考难点突破三：圆锥曲线的综合问题（最值、范围问题）

目录

TOC\o1-1\h\u高频考点一：椭圆中最值问题 1

高频考点二：椭圆中参数范围问题 9

高频考点三：双曲线中最值问题 17

高频考点四：双曲线中参数范围问题 24

高频考点五：抛物线中最值问题 31

高频考点六：抛物线中参数范围问题 38

高频考点一：椭圆中最值问题

典型例题

例题1．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知椭圆的左，右顶点分别为，，左焦点为,点在椭圆上．

(1)求的方程；

(2)设直线与交于不同于的，两点，且，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）依题意得，解得，，

所以C的方程为.

（2）由题意知，直线l的斜率不为0，

则不妨设直线l的方程为，

联立，消去得，

，化简整理得，

设，，则，，

因为，所以，

因为，所以，，

得，

将，代入上式得，

得，整理得，

解得或（舍去）．

所以直线l的方程为，则直线l恒过点，

所以

，

设，则，，

易知在上单调递增，

所以时，取得最大值，

又，

所以.

????

例题2．（2023·北京通州·统考三模）已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为2.

(1)求椭圆的方程

(2)动直线交椭圆于，两点，交轴于点，为线段的中点，点是关于的对称点，以点为圆心的圆过原点，直线与相切于点，求的最大值

【答案】(1)

(2)2

【详解】（1）由椭圆的离心率为，

得.

又当时，

得，

所以

因此椭圆方程为.

（2）??

设A（，），B（，）.

联立方程得

由得（*）

且，

因此，

所以

又N（0，-m），

所以

整理得：，

因为

所以

令故

所以

因为上单调递增，

因此

等号当且仅当时成立，

此时

最大值为2.

例题3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知椭圆：的离心率，点，为椭圆的左、右焦点且经过点的最短弦长为3．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点，，与直线交于点，若，且点满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)5

【详解】（1）由题意，，解得，，所以椭圆的方程为．

（2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．

设直线：，若，则则不满足，所以．

设，，，

由得：，，．

因为，即，则，，

所以，解得，则，即，

直线：，联立，解得，

∴，当且仅当或时等号成立

∴的最小值为5．

练透核心考点

1．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)是轴正半轴上的一点，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由题意可得，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设，

则

当时，

当时，，

所以.

2．（2023春·广西·高二校联考期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使面积最大时直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【详解】（1）因为长轴长是短轴长的倍，则，

所以椭圆C的方程为，

把点的坐标代入上式，得，可得，所以，

故椭圆C的方程为．

（2）易知右焦点F的坐标为，

若直线l的斜率为0，则O，A，B三点不能构成三角形，

??

所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，

联立方程组，消去x，得，

判别式，

设，则，，??

．

令，则，

当且仅当时，等号成立，即，解得，

所以此时直线l的方程为或．

3．（2023·全国·高三对口高考）已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点，点是椭圆上位于轴上方的动点，为椭圆的右顶点，直线、与直线分别交于、两点．求线段的长度的最小值．

????

【答案】

【详解】解：点、在直线上，则，解得，

所以，椭圆的方程为，

设点，则，

则，，所以，，

设直线的方程为，其中，则直线的方程为，

设点、，

由可得，联立可得，

所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，的最小值为.

高频考点二：椭圆中参数范围问题

典型例题

例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，直线.

(1)若到直线的距离为，求；

(2)若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求；

(3)若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)且

【详解】（1）因为，所以右焦点为，

又因为，所以到直线的距离，解得；

（2）设，，

由得，

所以，即，且，

所以

，

又因为O到直线的距离为，

所以的面积为

，

解得满足，所以；

（3）若，则直线经过点，此时直线和直线的夹角为（舍去），

若