2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析 第三章　培优点2　指对同构问题.pdfVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析

培优点2指对同构问题

把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的

单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法．同构法主要解决含有指数、对数混

合的等式或不等式问题．

题型一同构法的理解

a

例1(1)若e＋ab＋lnb(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是()

A．a＞lnbB．a＜lnb

C．lna＞bD．lna＜b

答案A

a

解析方法一由e＋ab＋lnb，

alnb

可得e＋ae＋lnb，

x

令f(x)＝e＋x，则f(a)＞f(lnb)，

因为f(x)在R上是增函数，所以a＞lnb.

a

方法二由e＋ab＋lnb，

aa

可得e＋lneb＋lnb，

a

令g(x)＝x＋lnx，则g(e)g(b)，

因为g(x)在(0，＋∞)上是增函数，

a

所以eb，即a＞lnb.

－－

a243λ1

(2)若关于a的方程ae＝e和关于b的方程b(lnb－2)＝e(a，b∈R＋)可化为同构方程，

则ab的值为()

8

A．eB．eC．ln6D．1

答案A

－

a24

解析对ae＝e两边取自然对数，

得lna＋a＝6，①

－

对b(lnb－2)＝e3λ1两边取自然对数，

得lnb＋ln(lnb－2)＝3λ－1，

即lnb－2＋ln(lnb－2)＝3λ－3，②

因为方程①②为两个同构方程，

所以3λ－3＝6，解得λ＝3，

1

设F(x)＝lnx＋x，x0，则F′(x)＝＋10，

x

所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，

所以方程F(x)＝6的解只有一个，

×－

3318

所以a＝lnb－2，所以ab＝(lnb－2)b＝b(lnb－2)＝e＝e.

xlnx

思维升华利用恒等式x＝lne和x＝e，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，

然后由构造的函数的单调性进行研究．

ax

跟踪训练1已知不等式ax＋e＞ln(bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是()

A．f(x)＝lnx＋xB．f(x)＝xlnx

x

C．f(x)＝xexD．f(x)＝

ex

答案A

xax

解析由恒等式x＝lne可得ax＝lne，