2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析 第三章　§3.6　利用导数证明不等式.pdfVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析

§3.6利用导数证明不等式

课标要求导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、

数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针

对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果．

题型一将不等式转化为函数的最值问题

x

例1(12分)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝a(e＋a)－x.

(1)讨论f(x)的单调性；[切入点：求导，讨论a的正负]

3

(2)证明：当a0时，f(x)2lna＋.

2

3

[方法一关键点：作差法比较f(x)与2lna＋的大小]

min

2

x

[方法二关键点：利用不等式e≥x＋1把函数f(x)中的指数换成一次函数]

[思路分析]

(1)求f′(x)→分a0，a≤0判断f′(x)的符号→f(x)的单调性

3

2lna＋

(2)方法一：求f(x)→构造函数g(a)＝f(x)－2→求g(a)最小值

minmin

＋

xxxlna2

方法二：证明不等式e≥x＋1→ae＝e≥x＋lna＋1→f(x)≥a＋lna＋1→构造函数g(a)＝

3

2lna＋

2

a＋lna＋1－2→求g(a)最小值

x

(1)解因为f(x)＝a(e＋a)－x，定义域为R，

x

所以f′(x)＝ae－1，(1分)

xxx

当a≤0时，由于e0，则ae≤0，故f′x＝ae－10恒成立，

①处判断f′(x)的符号

所以f(x)是减函数；(2分)

x

当a0时，令f′(x)＝ae－1＝0，解得x＝－lna，

当x－lna时，f′x0，

则fx在－∞，－lna上单调递减；

(4分)

当x－lna时，f′x0，

则fx在－lna，＋∞上单调递增.

②处判断f′(x)的符号

综上，当a≤0时，f(x)是减函数；

当a0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，

在(－lna，＋∞)上单调递增．(5分)

(2)证明方法一由(1)得，当a0时，

fx＝f－lna＝ae－lna＋a＋lna

min

2(7分)

＝1＋a＋lna，

③处利用单调性求f(x)min

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