第21练 面面角向量求法及其他应用【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之立体几何篇（解析版）_1.docxVIP

第21练面面角向量求法及其他应用

【基础练】

1．（2023秋·高二单元测试）在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，平面底面，.

(1)证明：；

(2)求二面角的正弦值.

2．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，且，，且，且，平面，．

(1)求平面与平面的夹角；

(2)求直线到平面的距离．

3．（2023春·浙江宁波·高二统考期末）在图1中，四边形为梯形，，，，，过点A作，交于．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问：

(1)求四棱锥的体积；

(2)若F在侧棱上，，求证：二面角为直二面角．

4．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，分别上的点且，，将沿折起到的位置，使．

(1)求证：；

(2)是否在射线上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．

5．（2023·北京·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，，．点E是棱PA的中点，连接OE，OP．

(1)求证：平面PCD；

(2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长．

条件①：平面平面；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

6．（2023·全国·高二专题练习）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的中点，.

(1)证明：平面平面.

(2)若，且二面角的大小为，求四棱锥的体积.

7．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，点在棱上，设.

(1)证明：.

(2)设二面角的平面角为，且，求的值.

8．（2023·全国·高二假期作业）如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.

??

(1)证明：平面平面；

(2)若，求二面角的余弦值.

9．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点．

(1)求证：；

(2)若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值．

10．（2023春·广东深圳·高二校考期中）如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

【提升练】

11．（2023秋·河南商丘·高二宁陵县高级中学校考开学考试）在三棱柱中，，，.

(1)证明:；

(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.

12．（2023秋·新疆·高二校考期末）如图，在四棱锥中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，ABDC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.

(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；

(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角P-AC-E的余弦值.

13．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面．

(1)证明：平面平面；

(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．

14．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，侧面底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，记平面与平面的交线.

(1)证明：直线平面.

(2)若在直线上且为锐角，当时，求二面角的余弦值.

15．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）如图（1），在中，，将沿折起，使得点到达点处，如图（2）.

(1)若，求证：；

(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.

16．（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，O为AC的中点．

(1)证明：⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角为，求的值．

17．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）如图，四棱锥中，底面为矩形且垂直于侧面，为的中点，，．

(1)证明：平面；

(2)侧棱上是否存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考一模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，．

(1)求证：；

(2)在线段PD上是否存在一点M，使二面角的余弦值为？若存在，求三棱锥体积；若不存在，请说明理由．

【能力练】

19．（2023·北京·高三专题练习）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．

（1）求证：为的中点；

（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．

20．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

??

(1)求证：平面PAB；

(2)求二面角的大小．

21．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.

(1)若点是棱上的动点请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论；

(2)若点为