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《排列》教学设计

一、创设情境

(1)高二(1)班准备从甲、乙、丙3名学生中选出两人分别担任班长和副班长,共有多少种不同的选法?

(2)从1,2,3这3个数字中,选出两个数字组成两位数,不同的两位数共有多少个?

(3)北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线,有多少种不同的飞机票?

上面的三个问题有什么共同特征?可以用怎样的数学模型来分析?

设计意图:这三个问题的实际背景不同,但去除实际背景之后,可抽象出共同的数学问题.教师引导学生用数学的眼光去看问题,用数学的思维去思考问题、分析问题、解决问题.

我们把上面问题中被取出的对象叫做元素.于是,所提出的问题就变为从3个不同的元素a,b,c中任意取出2个,然后按一定的顺序排成一列,求一共有多少种不同的排列方法.

第(1)个问题用下面的树状图表示.

即共有6种不同的结果:甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙.

事实上,这6种选法分别是从甲、乙、丙3名学生中选出两人,并按一定的顺序排成一列(班长排在第1位,副班长排在第2位)而得到的.

第(2)个问题用下面的树状图表示.

即可以组成6个不同的两位数字:12,13,21,23,31,32.

第(3)个问题用下面的树状图表示.

即需要准备6种不同的飞机票:北京—上海,北京—广州,上海—北京,上海—广州,广州—北京,广州—上海.

设计意图:通过分析与解决以上三个问题,让学生感受这三个问题的数学本质是一样的,为引出排列的概念作准备.

二、形成概念,辨析概念

如果我们把上面问题中被取出的对象叫做元素,那么问题可叙述为:从3个不同的元素中任意取出2个,并按一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?

所有不同的排列是.

不同的排列方法种数是.

师生活动:

师生共同归纳出排列的定义:

一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.

判断下列问题是否是排列问题.

(1)从这4个数字中,任选2个做加法,其结果有多少种不同的可能?

(2)从这4个数字中,任选2个做除法,其结果有多少种不同的可能?

(3)从1到10这10个自然数中,任取2个组成点的坐标,可得到多少个不同的点的坐标?

(4)平面上有5个点,任意三点不共线,这五点最多可确定多少条不同的直线?可确定多少条不同的射线?

(5)10个学生排队照相,则不同的站法有多少种?

师生活动:

教师展示问题,让学生思考分析,然后让学生展示思考分析的结果,检查学生对排列概念的理解.

学生回答:第(1)个问题不是排列问题;第(2)个问题是排列问题;第(3)个问题是排列问题;第(4)个问题不是排列问题;第(5)个问题是排列问题.

师生共同归纳总结:

排列的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是“按照一定的顺序排成一列”.“一定的顺序”就是与位置有关,这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志.根据排列的定义,当且仅当两个排列的元素完全相同,而且元素的排列顺序也相同时,两个排列才相同.

设计意图:通过这5个问题,让学生进一步理解排列的概念.

三、应用举例,巩固概念

例1某年全国足球甲级联赛共有14支队参加,每支队要与其余各队在主、客场分别比赛1场,共进行多少场比赛?

师生活动:

师:你能用我们上一节学习的计数原理解决这一问题吗?

生:要完成的“一件事情”是“从14支队中选出2支球队,按‘主队、客队’的顺序排成一个排列”.这里完成的“一件事情”与“顺序”有关,所以利用分步乘法计数原理可得,所以比赛的总场数是182.

师:根据我们这节课学的排列的概念,这是一个排列问题吗?

生:是排列问题,相当于“从14个不同的元素中取出2个元素,并按照一定的顺序排成一列”.

例2(1)从5本不同的书中选出3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?

(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?

师生活动:

师:这两个问题是否都是排列问题?

学生思考、讨论、交流.

教师指名学生回答,根据学生的回答给出评价和指导.

师生共同得出结论:

这两个问题的区别在于:(1)是从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,每人得到的书不同,属于排列问题;而(2)中,由于不同的人得到的书的种类可能相同,因此不符合排列的概念,不是排列问题,只能用分步乘法计数原理求解.

教师指名学生回答问题

生1:(1)不同的送法种数为.

生2:(2)不同的送法种数为.

设计意图:通过对这两个问题的对比分析,让学生对排列的概念有更深刻的理解和认识,能在具体情境中识别是否是排