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《导数与不等式的恒成立问题》专题精讲

1.不等式恒成立问题,一般都会涉及到求参数范围,往往把变量分离后可以转化为(或)恒成立,于是大于的最大值(或小于的最小值),从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题.因此,利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法.

2.对于恒成立问题“”和“”,注意参数的取值中“=”能否取到.

典例1已知函数.

(1)求的解析式及单调区间;

(2)若,求的最大值.

思路:本题主要是利用导数解决恒成立问题,(1)对求导,利用取特殊值确定式子中的和,从而确定函数解析式;(2)对于不等式的恒成立的问题,可以对参数的不同取值进行分类讨论,从而求解最值.

解析:(1)由已知得

又∴,

∴,当时,;当,时,,

∴减区间为,增区间为;

解法一:由已知条件得.

①若,则对任意常数,当,且时,可得,因此①式不成立.

②若,则,

③若,设,则,当时,,

当时,,

∴在单调递减,在上单调递增,

∴有最小值,

∴等价于,

∴,

设,则,

∴在单调递增,在单调递减,

∴在处取最大值,∴,即.

当时,②式成立,故,综合得,的最大值为.

解法二:得.

①当时,在上单调递增,时,与矛盾.

②当时,得:当时,,令;则,,当时,,当时,的最大值为.

典例2已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程;

(2)求证:当时,;

(3)设实数使得,对恒成立,求的最大值.

思路:本题主要是利用导数解决恒成立问题,在解决本题恒成立的问题时,若恒成立,可构造新函数,使得.

解析:(1)因为,所以,当时,,

由,得,则,所以在点处的切线方程为.

(2)令,则,

因为,所以.

(3)由(2)知,当恒成立.当时,令,

则,

所以当时,,因此在区间上单调递减,

当时,,即,所以当时,并非对恒成立.

综上所述,的最大值为2.