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数值计算方法

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嚏要内容

-算法和误差

-非线性方程

■线性方程组

-特征值

■插值和拟合

■微分和积分

■微分方程

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第一章算法与误差

数值计算是求解数学问题的常用方法，随着计算机技术

的飞速发展，数值计算方法在现代科学研究中的作用越来越

广泛。数值计算的算法的研究越来越受到人们的重视。

1）数值计算是应用数学一个重要分支，比如:微分方程，

现代物理.

迭代法求非线性

2）新的数学，混沌理论（方程的根）.

与过去相比，现代数值计算方法有两个显著特点：

1）数值计算的方法和理论都结合数字计算机的特点来

。进行算法研究时，注意算法与计算计

研究在速度，算内存

消耗的关系

2）在研究算法时，注重算法误差分析，注意数值解的收

敛性和数值计算的稳定性问题。

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模型：人们为了一定的目的，对客观事物的某一部分进

行简化、抽象和提炼出来的替代物，它集中反映了客观

事物中人们需要研究的那部分特征。

数学模型：将模型的特征、内存规律用数学的语言和符

号来描述的数学表述或数学结构。例如：人口增长模型

求解问题的方法和步骤：

成问题一明确待研究问题的特征、背景、用途

•形

素

•提出假设一抓住主要矛盾、忽略次要因

立模型一量化关键因素、建立数学结构和模型

•建

解一选择合适的算法对模型问题进行

•算法求求解

析一对算法

■算法分的误差和灵敏度、稳定性进行分析

验和修正

•修正模型一对模型进行检

法应用一应用成

•算果解决实际问题

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1.1算法

一、算法的概念

当我们用数值计算方法求解一个比较复杂的数学问题

时，常常要事先拟定一个计算方案，规划一下计算的步骤。

所谓算法，就是指在求解数学问题时，对求解方案和计算

步骤的完整而明确的描述。

描述一个算法可以采用许多方法，最常用的一个方法

是程序流程图。算法也可以用人的自然语言来描述。如果

用计算机能接受的语言来描述算法，就称为程序设计。

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二、算法的质量标准

求解一个数学问题，可以采用不同的算法，比如：

线性方程组，可用克莱姆法则，高斯消元法等多种方法

求解。但是每一种方法的优劣不同，评价一个算法的好

坏有以下几个标准：

1）算法的计算量（时间复杂性）

例L用克莱姆法则求解一个n阶线性方程组时，需要计

算（+1）个n阶行列式的值。需要做J川次乘法。设

n

n=20,若采用10亿/秒的计算机，要花费三十万年的时间

进行计斯元来求解