2023-2024学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合

1．已知全集U＝Z，集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则（?UA）∩B＝（）

A．{﹣1，2} B．{1} C．{0，1} D．{2}

2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）

A．y＝lgx B．y＝x3 C．y=x+1x D．y＝2x+2

3．若sinθ=5cosθ，则tan2

A．-53 B．53 C．-5

4．已知a＝log50.5，b＝50.5，c＝0.50.6，则（）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a

5．函数y=2sin(2x+π

A．x=-π6 B．x＝0 C．x=π

6．设x∈R，则“x（1+x）＞0”是“0＜x＜1”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足BA→=2DB

A．23 B．32 C．2 D

8．已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为8π3

A．23 B．1 C．2-2

9．已知函数f(x)=|x+1|-1，x∈(-∞，0)ln(x+1)，x∈[0，+∞)，g（x）＝x2﹣4x﹣4．设b∈R，若存在a∈R，使得f（a

A．[﹣1，5] B．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）

C．[﹣1，+∞） D．（﹣∞，5]

10．已知点集A＝{（x，y）|x∈Z，y∈Z}，S＝{（a，b）∈A|1≤a≤5，1≤b≤5}．设非空点集T?A，若对S中任意一点P，在T中存在一点Q（Q与P不重合），使得线段PQ上除了点P，Q外没有A中的点，则T中的元素个数最小值是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知函数f（x）＝sinπx+cosπx，则f（x）的最小正周期是．

12．已知单位向量a→，b→满足a→?（a→+2b→）＝2，则向量a→

13．设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，能说明“若d＜0，则数列{Sn}是递减数列”为假命题的一组a1，d

14．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的160作为单位来度量弦长．将圆心角α所对的弦长记为crdα．如图，在圆O中，60°的圆心角所对的弦长恰好等于圆O的半径，因此60°的圆心角所对的弦长为60个单位，即crd60°＝60．若θ为圆心角，cosθ=14（0°＜θ＜180°），则crdθ＝

15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为AD的中点，点N是侧面DCC1D1上（包括边界）的动点，且B1D⊥MN，给出下列四个结论：

①动点N的轨迹是一段圆弧；

②动点N的轨迹与CD1没有公共点；

③三棱锥N﹣B1BC的体积的最小值为112

④平面BMN截该正方体所得截面的面积的最大值为98

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（13分）已知{an}是递增的等比数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，满足a2＝6，

（1）求{an}的通项公式及Sn；

（2）若Sn+an＞2024，求n的最小值．

17．（13分）在△ABC中，b2+c2﹣a2＝bc．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．

条件①：cosB=11

条件②：a+b＝12；

条件③：c＝12．

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．

18．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AC＝BC＝2，PB=23

（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的大小；

（Ⅲ）求点C到平面PAB的距离．

19．（14分）已知函数f（x）＝ex﹣sinx﹣ax2（a∈R）．

（Ⅰ）若a＝0，求f（x）在区间[0，

（Ⅱ）若a＜12，求证：f（x）在x

20．（15分）已知函数f（x）＝mxlnx﹣x2+1（m∈R）．

（Ⅰ）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求m的取值范围；

（Ⅲ）试比较ln4与2的大小，并说明理由．

21．（15分）已知A