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§2.2函数的基本性质
考试要求1.借助函数图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解实际意义.2.了解函数奇偶性的含义.3.结合三角函数,了解函数的周期性、对称性及其几何意义.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论
M为最大值
M为最小值
3.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
4.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,非零常数T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
微思考
1.函数y=f(x)满足?x1,x2∈D,x1≠x2,eq\f(f?x1?-f?x2?,x1-x2)0(0),能否判断f(x)在区间D上的单调性?
提示能,eq\f(f?x1?-f?x2?,x1-x2)0(0)?f(x)在D上单调递增(单调递减).
2.奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的?
提示奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=eq\f(1,x)的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×)
(2)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0.(×)
(3)若y=f(x)在区间D上单调递增,则函数y=kf(x)(k0),y=eq\f(1,f?x?)在区间D上单调递减.(×)
(4)若函数f(x)满足f(4-x)=f(x),则f(x)的图象关于x=2对称.(√)
题组二教材改编
2.下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是()
A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+x
C.f(x)=2x-2-x D.f(x)=2x+2-x
答案C
解析f(x)=x-1为非奇非偶函数,f(x)=x2+x为非奇非偶函数,f(x)=2x+2-x为偶函数.
3.函数y=eq\f(x,x-1)在区间[2,3]上的最大值是________.
答案2
解析函数y=eq\f(x,x-1)=1+eq\f(1,x-1)在[2,3]上为减函数,
当x=2时,y=eq\f(x,x-1)取得最大值eq\f(2,2-1)=2.
4.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)0的解集为________.
答案(-2,0)∪(2,5]
解析由图象可知,当0x2时,f(x)0;当2x≤5时,f(x)0,又f(x)是奇函数,∴当-2x0时,f(x)0,当-5≤x-2时,f(x)0.
综上,f(x)0的解集为(-2,0)∪(2,5].
题组三易错自纠
5.函数f(x)=(x+1)eq\r(\f(x-1,x+1))是________函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
答案非奇非偶
解析f(x)的定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞)不关于原点对称.
故f(x)为非奇非偶函数.
6.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)f(2a),则实数a的取值范围是________.
答案[-1,
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