2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质学案含解析.docVIP

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三角函数的图象与性质

[考试要求]

1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.

2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的单调性．

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．

余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

R

R

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))

值域

[－1,1]

[－1,1]

R

单调性

递增区间：

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，

k∈Z，

递减区间：

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))，

k∈Z

递增区间：

[2kπ－π，2kπ]，

k∈Z，

递减区间：

[2kπ，2kπ＋π]，

k∈Z

递增区间

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，

k∈Z

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

对称性

对称中心

(kπ，0)，k∈Z

对称中心

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z

对称中心

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z

对称轴

x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)

对称轴

x＝kπ(k∈Z)

—

周期性

2π

2π

π

提示：(1)正弦、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tanx无单调递减区间，y＝tanx在整个定义域内不单调．

(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要留意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避开出现增减区间的混淆．

eq\a\vs4\al([常用结论])

1．对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期．

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

2．函数具有奇、偶性的充要条件

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数?φ＝kπ(k∈Z)；

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；

(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数?φ＝kπ(k∈Z)．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．()

(2)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()

(3)函数y＝sinx的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．()

(4)y＝sin|x|与y＝|sinx|都是周期函数．()

[答案](1)×(2)×(3)√(4)×

二、教材习题衍生

1．若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则()

A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1

C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2

A[T＝eq\f(2π,2)＝π，A＝2－1＝1，故选A.]

2．函数y＝tan2x的定义域是()

A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))

B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1