数学导学案：2任意角的三角函数（第2课时）.docxVIP

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第2课时三角函数线

1.了解三角函数线的定义和意义。

2。会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.

3.掌握三角函数线的简单应用.

三角函数线

(1）有向线段：带有的线段叫做有向线段.

(2)定义：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合,角α的始边与x轴的非负半轴重合）。

过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点,这样就有sinα＝，cosα＝，tanα＝.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的线、线、线，统称为三角函数线.

①三角函数线的位置:正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上;正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外.

②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位圆与α的终边（或反向延长线)的交点。

③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值,与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值。

④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后.

⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号;三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.

【做一做1－1】如图所示,P是角α的终边与单位圆的交点,PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的(）

A。正弦线是PM，正切线是A′T′ B.正弦线是MP,正切线是A′T′

C.正弦线是MP，正切线是AT D。正弦线是PM,正切线是AT

【做一做1－2】不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是（）

A。总能分别作出正弦线、余弦线、正切线

B。总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条

C。正弦线、余弦线、正切线都可能不存在

D.正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在

答案：(1）方向（2）MPOMAT正弦余弦正切

【做一做1－1】C

【做一做1－2】D

三角函数线的应用

剖析:三角函数线是三角函数值的直观表达形式，从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值大小。三角函数线的主要作用是解三角方程和不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是以后画三角函数图象的基础。

题型一解三角方程

【例1】在单位圆中画出满足sinα＝eq\f(1,2）的角α的终边，并写出α组成的集合。

分析：先作出直线y＝eq\f（1,2）与单位圆的交点P,Q，再连接OP，OQ即得。

反思：形如sinα＝m，cosα＝n，tanα＝t的等式,可借助于三角函数线写出α组成的集合.其步骤是：①在单位圆中画出α的终边；②在[0,2π）内找出满足条件的角；③用终边相同的角的集合写出。

题型二解简单的三角不等式

【例2】解不等式sinα≥－eq\f（1,2）。

分析：由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π,6）））＝sineq\f(7,6）π＝－eq\f（1，2)，则在坐标系中画出－eq\f（π，6)和eq\f(7,6)π，确定α的终边位置。

反思：解简单的三角不等式时，常借助于三角函数线，转化为终边在某区域内的角的范围.如本题转化为求终边在优弧对应的扇形区域内角的范围.

题型三易错辨析

易错点错解函数的定义域

【例3】求函数y＝eq\r(1＋2cosx）＋lg（2sinx＋eq\r(3))的定义域.

错解:要使函数有意义，则需满足1＋2cosx≥0且2sinx＋eq\r(3）＞0,即cosx≥－eq\f（1，2)，且sinx＞－eq\f（\r（3),2).所以2kπ＋eq\f（4π,3）≤x≤2kπ＋eq\f（8π,3)且2kπ－eq\f(π,3)＜x＜2kπ＋eq\f（4π,3）,其中k∈Z。其交集为空集，故无定义域。

错因分析：因两个不等式中的k各自独立，因此上述两集合是有公共部分的,如图所示。

反思：解三角不等式组时,先解每个三角不等式，再取它们的交集.取交集时,要注意各自解集中k的独立性。

答案：

【例1】解:如图，作直线y＝eq\f（1，2）交单位圆于点P，Q,连接OP，OQ,则射线OP，OQ为角α的终边．

由于sineq\f（π，6)＝eq\f(1，2），sineq\f(5π,6）＝eq\f(1，2）,则OP是eq\f（π，6)的终边，OQ是eq\f