数学学案：第三章第节数学证明.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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§2数学证明

1．理解演绎推理的概念．

2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．

3．了解合情推理与演绎推理的联系与区别．

1．合情推理的结论有时是不正确的，对于数学命题，需要通过__________严格证明．

2．________是最常见的一种演绎推理形式．

第一段讲的是一般性道理,称为________；第二段讲的是研究对象的特殊情况，称为________；第三段是由大前提和小前提作出的判断，称为______．

先表述大前提、小前提，由此给出结论，即为________推理的形式．

大前提、小前提都正确，得到的结论才正确，二者中有一个错误，结论不正确．

在应用三段论证明的过程中,因为作为一般性道理的大前提都熟知，所以书写时往往省略这类大前提．

【做一做1－1】因为指数函数都是增函数，函数y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,e)))x是指数函数，所以函数y＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,e)）)x是增函数．

上述推理错误的原因是（)．

A．大前提不正确 B．小前提不正确

C．推理形式不正确 D．大、小前提都不正确

【做一做1－2】三段论:“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②所以这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的小前提是__________．

3．在数学中，证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理,利用________的法则将命题推导出来．

4．__________是认识世界、发现问题的基础；________是证明命题、建立理论体系的基础．

答案：1．演绎推理

2．三段论大前提小前提结论三段论

【做一做1－1】A对指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）来说,当a＞1时是增函数，当0＜a＜1时是减函数,所以大前提不正确．

【做一做1－2】③

3．演绎推理

4．合情推理演绎推理

1．三段论推理的依据

剖析：三段论的论断基础是这样一个公理：“凡肯定（或否定）了某一类对象的全部,也就肯定(或否定）了这一类对象的各部分或个体．”简言之：“全体概括个体．”

要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中一个有错误，结论就不正确，如所有的动物都用肺呼吸,鱼是动物，所以鱼用肺呼吸，此推理显然错误，错误的原因是大前提错了．再如所有的能被2整除的数是偶数,合数是偶数，所以合数能被2整除．错误的原因是小前提错了．

2．合情推理与演绎推理的区别与内在联系

剖析：（1)合情推理是根据特殊的事物、事例，凭个人的经验和直觉等推测一般性结论的推理过程，归纳推理与类比推理是合情推理的两种方法，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，是科学发现和创造的基础．

(2）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等）,按照严格的逻辑推理得到新结论的推理过程,演绎推理有利于提高严密的逻辑思维能力．

(3）从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理，而演绎推理则是由一般到特殊的推理．

(4)从推理所得的结论来看，合情推理所得的结论不一定正确,有待于进一步证明;而演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．

(5）合情推理与演绎推理是相辅相成的．合情推理是认识世界，发现问题、数学结论和证明问题的方法与思路的重要途径，演绎推理是证明数学命题、建立数学体系的重要思维过程,它们各有利弊,各有千秋，是两种重要的推理形式,我们不仅要学会证明、解答问题，更重要的是学会发现、探索问题，所以两种推理都要学会、掌握．

题型一利用三段论证明问题

【例题1】梯形的两腰和一底如果相等,则它的对角线必平分另一底上的两个角．

已知：在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝DC＝AB，AC和BD是它的对角线．

求证：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA.

分析：本题可由三段论逐步推理论证．

反思:命题的推理证明为多个三段论,称为复合三段论．事实上,每一次三段论的大前提可不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论，也可不再写出，即过程可简写．

题型二用三段论的简写形式证明

【例题2】如图所示，A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心．

求证：MN∥平面ACD.

分析:证明线面平行,关键是在面内找到一条直线与已知直线平行，本题是三段论证明的应用．

反思：本题为一个三段论推理的问题,可以简写,遵循的原则是:如果a?b,b?c,则a?c.

题型三通过计算推理证明

【例题3】已知正数数列｛an｝的前n