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一、选择题(共30分,每题3分)
1.在平面直角坐标系中,已知点,.若与关于点O位似,且,则点的坐标为()
A.或 B.或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由与关于点O位似,且,得到与的相似比为1:2,由点E的坐标为,即可得到答案.
【详解】解:∵与关于点O位似,且,
∴与的相似比为1:2,
∵点E的坐标为,
∴点的坐标为或,
即或,
故选:A
【点睛】此题考查了位似,根据位似得到与的相似比为1:2,是解题的关键.
2.如图,小正方形边长均为1,则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边,再根据相似三角形的判定定理即可求解.
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例.
故选B.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定,解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
3.如图,在直角坐标系xOy中,矩形EFGO的两边OE,OG在坐标轴上,以y轴上的某一点P为位似中心,作矩形ABCD,使其与矩形EFGO位似,若点B,F的坐标分别为(4,4),(-2,1),则位似中心P的坐标为(?????)
A.(0,1.5) B.(0,2)
C.(0,2.5) D.(0,3)
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出CG的长,利用相似三角形的性质求出PG的值,从而求出点P的坐标即可.
【详解】解:∵四边形ABCD和四边形EFGO均为矩形,点B,F的坐标分别为(4,4)、(-2,1),
∴,,点C(0,4),点G(0,1),
∴,,
∵,
∴△FGP∽△BCP
∴,即,
解得,
∴点P坐标为(0,2),
故选:B.
【点睛】此题主要考查了位似中心的概念和位似图形的性质等知识,熟练掌握位似中心的概念和位似图形的性质是解题的关键.
4.如图,在中,点在边上,,与边交于点,连接,记,的面积分别为()
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意判定,由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答.
【详解】∵在中,,
∴,
,
若,则,,
即:,整理得:,
而,则,,
,即:,故无法判断与之间的大小关系,排除A、B;
若,则,,
即:,整理得:,
而,则,,
,即:,排除C,
,
.
故选:D.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,以及与不等式相结合,熟练掌握相似三角形的基本性质,抓住面积比等于相似比的平方,灵活运用不等式进行比较大小是解题的关键.
5.如图,A(,1),B(,4),C(,4),点P是边上一动点,连接,以为斜边在的右上方作等腰直角,当点P在边且运动一周时,点Q的轨迹形成的封闭图形面积为()
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】B
【解析】
【分析】如图,由题意,点P在的三条边上运动一周时,点Q运动的轨迹是.利用相似三角形的性质求出,,,利用勾股定理的逆定理,证明是直角三角形,即可解决问题.
【详解】解:如图,由题意,点P在的三条边上运动一周时,点Q运动的轨迹是.
A(,1),B(,4),C(,4),
,,,
,,
,
,
,
同法可得,,,
,
点Q的轨迹形成的封闭图形面积.
故选:B.
【点睛】本题考查轨迹,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹,属于中考选择题中的压轴题.
6.如图,点O是矩形对角线上的一点,⊙O经过点C,且与边相切于点E,若,,则的半径长为()
A. B. C. D.4
【答案】B
【解析】
【分析】连接,并延长于点F,连接,根据切线的性质以及矩形的性质可得,从而得到,设的半径长为r,,则,,可得,从而得到,在中,由勾股定理,即可求解.
【详解】解:如图,连接,并延长于点F,连接,
∵四边形是矩形,
∴,
∵⊙O与边相切于点E,
∴,即,
∴,
∴,,
∴,,
设的半径长为r,,则,,
∴,
∴,
解得:,
∴,
在中,,
∴,
解得:或(舍去),
∴.
故选∶B
【点睛】本题主要考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质,矩形的性质,勾股定理,熟练掌握切线的性质,相似三角形的判定和性质,矩形的性质是解题的关键.
7.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示,过点G作的垂线交于点I,若,则的值为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设,,根据三角形相似可得,再根据正方形的面积即可求解.
【详解】解:如图所示,过点作于,
正方形,正方形,直角三角形,
设,,
∵,
∴(同角的余角相等
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