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探源1导数的概念及其几何意义
[命题点分析]本部分内容从近几年高考考查情况来看,特别是全国卷,每年都考查函数图象的切线问题,在强调导数的几何意义的前提下考查导数运算及方程、不等式等问题,主要体现方程思想和数形结合思想,对逻辑推理与数学运算素养要求较高.
【案例1】(2023·全国甲卷)曲线y=exx+1在点1,e
A.y=e4x B.y=e
C.y=e4x+e4 D.y=e2
[尝试解答]
[考题来源]本题来源于教材习题5.2第5题,题目命题模式与习题完全一致,都是求切线方程的题目,难度相当.
[试题评价]本题考查了导数的几何意义及利用导数求切线方程的方法,体现了数学运算的学科素养,属于基础题.
【案例2】(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是______.
[尝试解答]
[考题来源]本题来源于教材习题5.2第11题,题目命题模式与习题相仿,都是求解参数的题目,教材习题是根据已知条件求曲线在一点处的切线斜率,进而求参数的值,高考题考查了过一点的切线方程,求参数的取值范围,难度系数比教材习题要高,考查能力要求较高.
[试题评价]本题考查了导数的几何意义及利用导数求切线方程的方法,尤其加强了对过一点和在一点的切线求解的易错点的考查,着重考查了数学运算和逻辑推理的核心素养,难度中等.
探源2用导数解决函数的单调性、极值、最值问题
[命题点分析]从高考的考查情况来看,利用导数研究函数的单调性是导数最为核心的部分,是高考考查的热点.函数单调性的探讨,一般就是研究一元二次不等式,特别是含参一元二次不等式,能充分考查数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想及转化与化归思想,内涵极为丰富,使得探讨函数的单调性成为命题人最为青睐的部分.高考常考查的形式:(1)利用导数求函数的单调区间、讨论函数的单调性及由函数的单调性求参数的范围.(2)利用函数的单调性比较大小、证明不等式、判断函数零点的个数.(3)求函数的极值,利用极值解决最值或求参数的值与参数的范围.主要考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养,难度较大.
【案例3】(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为()
A.e2B.eC.e-1D.e-2
[尝试解答]
[考题来源]本题来源于教材第94页“当x>0时,1-1x≤lnx”
[试题评价]试题以单调性为背景,考查导数的应用和不等式的综合运用,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养以及转化与化归的能力,属于基础题.
【案例4】(2022·全国乙卷)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1x2,则a的取值范围是________.
[尝试解答]
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