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考点1反比例函数的概念
一般地,形如(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.如:、、都是反比例函数.
字母
名称
取值范围
x
自变量
x≠_0
y
函数
y≠0
k
比例系数
_k≠0
三种表示形式:,,,(其中:k≠_0)
考点2反比例函数的图象
1.反比例函数的图象
反比例函数的图象是由两支曲线组成的,这两支曲线通常称为双曲线.反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近x轴y轴但不会与坐标轴相交.
2.反比例函数的图象是中心对称图形,对称中心是___________原点___________.
3.反比例函数的图象在坐标系中的位置
K的正负性
图象的位置
图象的形态走势
K0
图象在第一、三象限
每一个分支中,图象从左到右下降
K0
图象在第二、四象限
每一个分支中,图象从左到右上升
考点3反比例函数的性质
1.反比例函数的增减性
K的正负性
函数的性质
K0
每一个分支中,y随x增大而减少
K0
每一个分支中,y随x增大而增大
2.的几何意义
越大,双曲线离原点越远,过反比例函数图象上任意一点作两条坐标轴的平行线,这两条平行线与两条坐标轴围成的长方形的面积等于.
考点4反比例函数的应用
1.待定系数法求反比例函数的解析式
将一组对应的x、y的值或图象上一个点的坐标代入表达式,利用k=xy求出k的值.
2.反比例函数与一次函数的交点
反比例函数与一次函数的交点就是方程组的解.
两种函数在交点位置的函数值是相同的,其它位置函数值的大小可以由函数图象的上、下位置来确定.规律是:上大下小.
3.面积问题
利用分割法将图形转化为以坐标轴上的边为底的三角形求解,也可以考虑用的几何意义求解.
4.反比例函数的实际应用
行程问题:路程S一定,速度v与时间t的关系:是反比例函数;
工程问题:工作量Q一定,工作效率p与工作时间t的关系:是反比例函数;
几何问题:长方形的面积S一定,长y与宽x的关系:是反比例函数;圆柱的体积v一定,圆柱的高h与底面积s的关系:是反比例函数;
5.反比例函数在其它学科的应用
压力一定,压强与受力面积的关系:是反比例函数;
杠杆,力与力臂的关系是反比例关系;
电压u一定,通过导体的电流I与导体的电阻R的关系:是反比例函数;
反比例函数中函数值的大小比较的方法
1.性质法.K的正负性→确定反比例函数的增减性→判断同一象限内点的坐标大小关系→确定函数值的大小关系;
2.求值法.将已知的自变量的值或已知点的横坐标代入解析式,求出函数值或纵坐标的值,利用值进行比较;
3.图象法.在平面直角坐标系中找出符合条件的点,然后通过观察函数图象比较函数值的大小;
4.特殊值法.如果不知道点的横坐标的具体值,只知道自变量间的关系,可以采用此方法.
【例题】
1.在反比例函数的图象上有三个点,,,则函数值,,的大小关系为()
A. B. C. D.
2.在反比例函数(为常数)的图象上有三个点,,,则函数值,,的大小关系为()
A. B. C. D.
3.反比例函数图象上有三个点,其中,则的大小关系是()
A B. C. D.
【练经典】
4.已知点,,在反比例函数的图象上,则,的大小关系为()
A. B. C. D.无法判断
5.若点在反比例函数的图象上,则的大小关系是()
A. B. C. D.
6.反比例函数图象上有三个点,其中,则的大小关系是()
A B. C. D.
【练易错】
易错点:判断反比例函数值大小没考虑在不同的分支上而出错
7.已知点、、都在反比例函数的图象上,且.下列结论中正确的是()
A. B. C. D.
反比例函数与面积问题
1.的几何意义
过反比例函数图象上任意一点作两条坐标轴的平行线,这两条平行线与两条坐标轴围成的矩形的面积等于.如图,.
2.反比例函数图象中某些特殊三角形的面积
3.反比例函数图象中某些特殊四边形的面积
4.反比例函数图象中某些特殊多边形的面积
【例题】
8.如图,点A,B是反比例函数图象上的两点,轴于点C,轴于点D,连结若点,三角形的面积为3,则三角形的面积是()
A.2 B.3 C.4 D.5
9.如图,点A是反比例函数的图象上任意一点,轴交反比例函数的图象于点B,以为边作,其中C、D在x轴上,则为()
A.2.5 B.3 C.5 D.6
10.如图,点,是反比例函数图像上任意两点,过点,分别作轴、轴的垂线,,__________.
【练经典】
11.如图,正比例函数与反比例函数的图像交于A,C两点,过点A作轴于点B,过点C作轴
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