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课程目的设立;主题探究导学;;;1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δx=0时的平均变化率”.这种说法对吗?
提示:这种说法不对,y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
0时,平均变化率无限靠近的一种常数值,而不是Δx=0时
的值,事实上,在平均变化率的体现式中,Δx≠0.;2.函数f(x)在x=x0处的导数与Δx趋近于0的方式有关吗?
提示:没有关系.无论Δx从一侧趋近于0还是从两侧趋近于0,其导数值应相似.否则f(x)在该点处导数不存在,如函数f(x)=|x|在x=0处导数不存在.;;;1.过曲线y=f(x)上的某一点作曲线的切线有且只有一条吗?
提示:不一定.可能不存在,如y=|x|,在点(0,0)处无切线;也可作多条,如图所示的曲线中,过点A可作两条切线.
;2.能否认为函数在x=x0处导数越大,其函数值变化就越快?
提示:这种说法不对的.导数的正、负号拟定函数值变化的趋势,其绝对值大小拟定变化的快慢.应说导数的绝对值越大,函数值变化越快,即切线“越陡”.;典型例题精析;【例2】某物体按照s(t)=3t2+2t+4的规律作直线运动,求物体运动4s时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.
思路点拨:解答本题可先求出函数值的增量Δs,自变量的增量Δt,再运用公式求解,最后阐明运动状况.;【练一练】1.如果质点A按规律s=2t3运动,则在t=3s时的瞬时速度为()
(A)6(B)18(C)54(D)81
;2.一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里,它的温度会逐步下降,温度T(单位:℃)与时间t(单位:min)间的关系,由函数T=f(t)表达.
(1)f′(t)的含义是什么?f′(t)的符号是什么?为什么?
(2)f′(3)=-4的实际意义是什么?如果f(3)=60(℃),你能画出函数在点t=3时图象的大致形状吗?;2.已知曲线C:y=x2与定点A(2,3),过定点A与曲线相切的直线方程为________.
;3.求曲线f(x)=x2-x+3在点(1,3)处的切线方程.
;知能巩固提高;一、选择题(每小题5分,共15分)
1.函数在某一点的导数是()
(A)该点的函数的变化量与自变量的变化量的比
(B)一种函数
(C)一种常数,不是变数
(D)函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
【解析】选C.函数的导数是函数的平均变化率,当Δx→0时的极限值,是无限靠近的一种常数.;2.(2010·河源高二检测)???线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是()
(A)y=7x+4(B)y=7x+2
(C)y=x-4(D)y=x-2;【解析】;3.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1,则切线方程为()
(A)y=4x(B)y=4x-4
(C)y=4x-8(D)y=4x或y=4x-4;【解析】选D.设P(x0,y0),则f′(x0)
∵点P处的切线与直线y=4x-1平行,∴3x02+1=4
∴x0=1或-1,则P点坐标为(1,0)或(-1,-4),
∴所求切线方程为y=4x-4或y=4x.;二、填空题(每小题5分,共10分)
4.曲线y=在点(3,3)处的切线的倾斜角为________.;5.如图,函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9,P点的横坐标是4,则f(4)+f′(4)=__________.
;【解析】由导数的几何意义知
f′(4)=-2,
由点P在切线y=-2x+9上知yP=-2×4+9=1.
∴点P的坐标为(4,1),∴f(4)=1,
∴f(4)+f′(4)=1+(-2)=-1.
答案:-1;三、解答题(6题12分,7题13分,共25分)
6.(2010·漳州高二检测)求曲线y=x3+x在点(1,)处
的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
【解题提示】求切线的斜率k=f′(1)→求切线方程→求切线与两坐标轴的交点→求切线与坐标轴围成三角形的面积.;【解析】;7.在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线满足下列条件.
(1)平行于直线y=x+1.
(2)垂直于直线2x-16y+1=0.
(3)倾斜角为135°.
;【解析】;(1)∵切线与直线y=x+1平行,
∴由导数几何意义知f′(x0)=1,即=1,
∴x0=-2,y0=1,即P(-2,1).
(2)∵切线与直线2x-16y+1=0垂直,
∴有f′(x0)·()=-1,
∴∴x0=1,y0=4,即P(1,4).
(3)∵切线倾斜角为135°,
∴f′(x0
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