天津市南开中学2025届高三上学期统练2数学试题（含答案解析）.docx

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天津市南开中学2025届高三上学期统练2数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知数集满足：，，若，则一定有：（????）.

A． B． C． D．

2．设为虚数单位，，则实数

A．2 B．1

C．0 D．?1

3．函数的图象大致是（????）

A． B．

C． D．

4．某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：

x（万元）

3

4

5

6

7

y（万元）

45

50

60

65

70

由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为（????）

A．89.5 B．90.5 C．92.5 D．94.5

5．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是（????）

A． B．

C． D．

6．已知函数满足：，则；当时，则（????）

A． B． C． D．

7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

8．已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（????）

A． B．

C． D．

9．函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（????）

A． B． C． D．1

二、填空题

10．已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是．

11．的展开式中，不含字母的项为.

12．计算的值为.

13．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为，且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为

14．已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为.

15．设函数，若有三个零点，则的取值范围是．

三、解答题

16．已知函数.

（1）若函数y=f(x)在上的最大值为8，求实数m的值；

（2）若函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，求实数m的取值范围.

17．已知函数，其中a是大于0的常数．

(1)求函数的定义域；

(2)当时，求函数在上的最小值；

(3)若对任意恒有，试确定的取值范围．

18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，.

(1)若点是边的中点，点是边的中点，求异面直线，所成角的余弦值；

(2)求平面和平面的夹角的余弦值；

(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值?若不存在，说明理由.

19．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，直线：交椭圆C于M，N两点，当直线过点时，的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设P为x轴上一点，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程及点P的坐标.

20．已知函数，其中为自然对数的底数．

(1)讨论的单调性；

(2)若方程有两个不同的根．

(i)求的取值范围；

(ii)证明：．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

答案

C

C

A

B

D

A

A

A

C

1．C

【分析】借助交集与并集的性质推导即可得.

【详解】由，，

故、或、，

由，故，故C正确，D错误；

同理，、或，，故A、B错误.

故选：C.

2．C

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简即可得解.

【详解】由，得，所以，

故选:．

3．A

【分析】求出函数的零点排除两个选项，再求出函数的极大值，结合图形即可判断得解.

【详解】函数定义域为R，由，得或，即函数有两个零点，BC错误；

，当时，，当时，，

函数在上单调递增，在上单调递减，

因此函数在处取得极大值，D错误，A符合题意.

故选：A

4．B

【分析】由题意求得样本中心点的坐标，进一步得，由此即可预测求解.

【详解】由表中数据可知，，

所以，解得，

所以当宣传费用时，销售额y的估计值为.

故选：B.

5．D

【分析】根据函数的奇偶性和单调性，可知和的解，再将转化为，或，求解即可.

【详解】由题意可得当时，有，当或时，有，

所以当时，有或，即或，

当时，有，即，

由，可得，或，所以或，

所以的解集是.

故选：D

6．A

【分析】根据函数解析式，先得