1.1.1二课时空间向量的数量积（原卷版）_1.docx

1.1.1二课时空间向量的数量积

TOC\o1-3\h\u题型1数量积的概念 3

题型2数量积的运算 4

题型3利用空间向量的数量积求夹角 7

题型4利用空间向量的数量积求距离(线段长度) 9

题型5投影向量 12

题型6最值与范围问题 14

知识点一.空间两个向量的夹角

夹角

定义

a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作OA=a，OB=b,∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量a

图示

?

表示

〈a,b〉.

范围

[0,π]

2.空间两个向量的关系

（1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同;

（2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向相反;

（3）若〈a,b〉=π2,则向量a,b互相垂直，记作a⊥

知识点二.空间两个向量的数量积

空间向量的数量积的定义

定义

已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉??叫做a,b的数量积,记作????a·b????.即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.

规定

零向量与任意向量的数量积为0???

2.空间向量数量积的运算律

交换律

a·b=?????b·a????

结合律

(λa)·b=⑩????λ(a·b)????,λ∈R

分配律

a·(b+c)=?????a·b+a·c??

3.空间向量数量积的性质

=1\*GB3①若a,b为非零向量,则a⊥b??????a·b=0????;

=2\*GB3②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|=a2

=3\*GB3③若θ为a,b的夹角，则cosθ=a

=4\*GB3④|a·b|≤|a||b|

4.与数量积有关的2个易错点

①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.

②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=ac?b=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立.

知识点三.向量的投影

（1）向量在向量上的投影向量

①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量OA=a，OB=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a

②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=OA

（2）向量在平面上的投影向量

①定义：设向量m=CD，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量C1D1.我们将上述由向量m得到向量C1D1的变换称为向量m向平面α投影，向量C

②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即m?n=C1

【方法总结】空间向量数量积的注意点

结果：两个向量的数量积，其结果是一个实数，而不是一个向量，它的符号取决于两向量的夹角的余弦值的符号.

（2）零向量：空间向量数量积对于a，b是零向量时的情况仍然成立，即零向量与任何向量的数量积均为零.

（3）运算律：数量积不满足结合律

题型1数量积的概念

【例题1】设a，b，c都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（????）

A．a

B．a

C．a

D．a

【变式1-1】1．对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是（????）

A．若a//b且b//c，则

C．若a?b=a?c，且

【变式1-1】2．（多选）设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（????）

A．a2=a

C．a?b2

【变式1-1】3．（多选）下列四个结论正确的有（????）

A．对于任意两个向量a,b，若a?b=0，则

B．若空间中点P,A,B,C

C．空间中任意三个向量a,b,

D．对于任意两个向量a,b，

【变式1-1】4．（多选）定义空间两个非零向量的一种运算：a?b=|

A．λ(a?

C．若a?b=0，则a

题型2数量积的运算

【方法总结】

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.

（2）两个向量的数量积写成a?b；今后要学到两个向量的外积axb，而ab

（3）在数量积中，若a≠0，且a?b=0，不能推出（

（4）在实数中，有（axb）c=a（bxc），但是（a?b）c=a（

【例题2】（2023·全国·高三对口高考）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则AE?AF的值为（

A．a2 B．12a2 C．

【变式2-1】1．（河南省新乡市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中