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1.2空间向量基本定理
重点:类比平面向量基本定理,理解并掌握空间向量基本定理;
难点:熟练运用基底表示向量,并能解决平行、垂直、夹角、距离等问题。
一、空间向量基本定理
(1)定义:如果三个向量不共面,
那么对空间任一向量,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.
(2)基底与基向量:如果三个向量不共面,
那么所有空间向量组成的集合就是,
这个集合可以看作由向量生成的,我们把叫做空间的一个基底,
都叫做基向量。
说明:空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
二、空间向量的正交分解
1、单位正交基底:如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直,那么这个基底叫作正交基底,
特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,
通常用表示。
2、正交分解:把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正角分解。
三、判断基底的基本思路及方法
1、基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底,若不共面,则能构成基底;
2、方法:=1\*GB3①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底;=2\*GB3②假设(),运用空间向量基本定理,建立的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底。
四、用基底表示向量的步骤
1、定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底;
2、找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果;
3、下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量,表示要彻底,结果中只能含有,不能含有其他形式的向量。
题型一基底的概念与判断
【例1】(2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习)为空间的一组基底,则下列各项中能构成基底的一组向量是()
A.,,B.,,
C.,,D.,,
【答案】C
【解析】对选项A:,向量共面,故不能构成基底,错误;
对选项B:,向量共面,故不能构成基底,错误;
对选项C:假设,即,
这与题设矛盾,假设不成立,可以构成基底,正确;
对选项D:,向量共面,故不能构成基底,错误;故选:C
【变式1-1】(2023秋·辽宁·高二校联考期末)已知是空间的一个基底,则可以与向量,构成空间另一个基底的向量是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为,
,
,
所以向量,,均与向量,共面.故选:C
【变式1-2】(2023春·福建·高二莆田第二十五中学校考期中)(多选)设且是空间的一个基底,则下列向量组中,可以作为空间一个基底的向量组有()
A.B.C.D.
【答案】BCD
【解析】如图所示,令,则,
又,
由A、B1、C、D1四点不共面知:向量不共面,
同理和也不共面.故选:BCD
【变式1-3】(2023秋·河北保定·高二统考期末)在以下命题中:
①三个非零向量,,不能构成空间的一个基底,则,,共面;
②若两个非零向量,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则,共线;
③对空间任意一点和不共线的三点,,,若,则,,,四点共面
④若,是两个不共线的向量,且,则构成空间的一个基底
⑤若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底;其中真命题的个数是()
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【解析】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.
①根据空间基底的定义,三个非零向量,,不能构成空间的一个基底,
则,,共面;故命题①正确.
②由空间基底的定义,若两个非零向量,
与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则,共线,若,不共线,
则,共面,一定有向量与,不共面;故命题②正确.
③对空间任意一点和不共线的三点,,,当时,
若,,,四点共面,则,
,,方程组无解,
故,,,四点不共面;故命题③错误.
④若,是两个不共线的向量,且,
则向量与,构成共面向量,不能构成空间的一个基底;故命题④错误.
⑤利用反证法:若不能构成空间的一个基底,
则这三个向量共面,设,当,与共线,
当,得,都有共面,
由于为空间的一个基底,得出矛盾,
所以能够成空间的一个基底,故命题⑤正确.
真命题有3个.故选:D
题型二用基底表示空间向量
【例2】(2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中)如图,在三棱锥中,,,若,,,则()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】如图
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