1.2 空间向量基本定理 精讲(解析版)_1.docx

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1.2空间向量基本定理

重点:类比平面向量基本定理,理解并掌握空间向量基本定理;

难点:熟练运用基底表示向量,并能解决平行、垂直、夹角、距离等问题。

一、空间向量基本定理

(1)定义:如果三个向量不共面,

那么对空间任一向量,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.

(2)基底与基向量:如果三个向量不共面,

那么所有空间向量组成的集合就是,

这个集合可以看作由向量生成的,我们把叫做空间的一个基底,

都叫做基向量。

说明:空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

二、空间向量的正交分解

1、单位正交基底:如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直,那么这个基底叫作正交基底,

特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,

通常用表示。

2、正交分解:把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正角分解。

三、判断基底的基本思路及方法

1、基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底,若不共面,则能构成基底;

2、方法:=1\*GB3①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底;=2\*GB3②假设(),运用空间向量基本定理,建立的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底。

四、用基底表示向量的步骤

1、定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底;

2、找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果;

3、下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量,表示要彻底,结果中只能含有,不能含有其他形式的向量。

题型一基底的概念与判断

【例1】(2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习)为空间的一组基底,则下列各项中能构成基底的一组向量是()

A.,,B.,,

C.,,D.,,

【答案】C

【解析】对选项A:,向量共面,故不能构成基底,错误;

对选项B:,向量共面,故不能构成基底,错误;

对选项C:假设,即,

这与题设矛盾,假设不成立,可以构成基底,正确;

对选项D:,向量共面,故不能构成基底,错误;故选:C

【变式1-1】(2023秋·辽宁·高二校联考期末)已知是空间的一个基底,则可以与向量,构成空间另一个基底的向量是()

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】因为,

所以向量,,均与向量,共面.故选:C

【变式1-2】(2023春·福建·高二莆田第二十五中学校考期中)(多选)设且是空间的一个基底,则下列向量组中,可以作为空间一个基底的向量组有()

A.B.C.D.

【答案】BCD

【解析】如图所示,令,则,

又,

由A、B1、C、D1四点不共面知:向量不共面,

同理和也不共面.故选:BCD

【变式1-3】(2023秋·河北保定·高二统考期末)在以下命题中:

①三个非零向量,,不能构成空间的一个基底,则,,共面;

②若两个非零向量,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则,共线;

③对空间任意一点和不共线的三点,,,若,则,,,四点共面

④若,是两个不共线的向量,且,则构成空间的一个基底

⑤若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底;其中真命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.

①根据空间基底的定义,三个非零向量,,不能构成空间的一个基底,

则,,共面;故命题①正确.

②由空间基底的定义,若两个非零向量,

与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则,共线,若,不共线,

则,共面,一定有向量与,不共面;故命题②正确.

③对空间任意一点和不共线的三点,,,当时,

若,,,四点共面,则,

,,方程组无解,

故,,,四点不共面;故命题③错误.

④若,是两个不共线的向量,且,

则向量与,构成共面向量,不能构成空间的一个基底;故命题④错误.

⑤利用反证法:若不能构成空间的一个基底,

则这三个向量共面,设,当,与共线,

当,得,都有共面,

由于为空间的一个基底,得出矛盾,

所以能够成空间的一个基底,故命题⑤正确.

真命题有3个.故选:D

题型二用基底表示空间向量

【例2】(2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中)如图,在三棱锥中,,,若,,,则()

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】如图

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