1.2.11.2.2空间中的点、直线、平面与空间向量（解析版）_1.docx

1.2.1空间中的点、直线与空间向量1.2.2空间中的平面与空间向量

TOC\o1-3\h\u题型1直线的方向向量 3

题型2向量法求异面直线所成的角 7

◆类型1求异面直线所成的角 7

◆类型2已知异面直线所成的角求其他量 13

题型3平面法向量的概念辨析 21

题型4平面法向量求法 24

题型5平面方程的表示 30

题型6利用法向量研究线面位置关系 31

◆类型1空间向量与平行 32

◆类型2空间向量与垂直 40

题型7探索性问题 45

题型8最值问题 56

知识点一.平面的法向量

1.平面的法线

与平面垂直的直线叫作平面的法线。

由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向来刻画平面的“方向”。

2.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的法向量.

注意：

平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.

（2）一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.

3.平面法向量的性质

（1）如果直线垂直于平面α，则直线l的任意一个方向都是平面α的一个法向量.

（2）如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行

（3）如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量AB一定与向量n垂直，即AB?n=0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定

知识点二.直线与平面的位置关系

如果v是直线I的一个方向向量，n是平面α的一个法向量

（1）n

（2）n

知识点三.平面与平面的位置关系

如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量：

（1）n1⊥n2?α

（2）n1//n2?α1//α2,

知识点四.三垂线定理及其逆定理

1.射影

已知空间中的平面α以及点A，过点A作α的垂线，设I与α相交于点A，则A就是点A在平面α内的射影（称为投影）．空间中，图形F上，在平面内的所有点，所组成的集合F称为图形F在平面α内的射影。

2.三垂线定理

如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。

3.三垂线定理的逆定理

如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直则它也和这条斜线在平面内的射影垂直.

知识点五.异面直线所成的角

向量求法：若两异面直线l1,l2所成角为θ，它们的方向向量分别为u1,u2

2.范围：（0,π2]

题型1直线的方向向量

【方法总结】

空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：

①是非零向量；

②向量所在的直线与l平行或重合.

【例题1】（多选）（2021·高二课时练习）[多选题]下列命题中真命题有（????）．

A．直线l的方向向量有无穷多个

B．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反

C．若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l

D．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直

【答案】AB

【分析】AB选项，由直线的方向向量的定义判断；C选项，由k=0判断；D选项，由两直线平行或重合判断

【详解】AB选项，由直线的方向向量的定义易知A，B正确；

C选项，当k=0时，结论不成立，故C

D选项，两直线的方向向量平行，则两直线平行或重合，故D错误．

故选：AB．

【变式1-1】1．已知A1,2,-2，B3,2,1在直线l上，写出直线l

【答案】2,0,3（答案不唯一）

【分析】根据直线方向向量的求法求得n.

【详解】由于A1,2,-2，B3,2,1，所以直线

故答案为：2,0,3（答案不唯一）

【变式1-1】2．（多选）（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知平面α的一个法向量为n1=1,-2,-12，平面β的一个法向量为n2=-

A．l

B．α

C．l与m为相交直线或异面直线

D．a在b向量上的投影向量为0,

【答案】BC

【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可.

【详解】因为平面α的一个法向量为n1=1,-2,-12，直线l的方向向量为a=1,0,2，则

又平面β的一个法向量为n2=-1,0,

，所以α⊥β，故

由直线m的方向向量为b=0,1,-2，所以不存在实数λ使得a=λb

a在b向量上的投影向量为a?bb?

故选：BC.

【变式1-1】3（2022秋·全国·高二专题练习）已知直线l1的方向向量a=-1,2,m，直线l2的方向向量b=

A．-6 B．6 C．14 D．

【答案】A

【分析】根据题意，结合向量平行的坐标运算，即可求解.

【详解】∵l1/