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2.1.1倾斜角与斜率
重点:1、直线的倾斜角的概念;2、直线的斜率公式;
难点:1、直线的倾斜角公式与斜率的变化关系;2、直线的斜率公式。
一、直线的倾斜角
1、定义:当直线与相交时,我们把轴称为基准,
轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角。
2、倾斜角的范围:。
当时,表示直线与x轴平行或与x轴重合.
【注意】
1、定义中含有的三个条件:①直线向上方向;②轴正向;③小于的角.
2、从运动学观点看,直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.
3、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度,每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.
4、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置,但是,直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.
二、直线的斜率
1、定义:倾斜角不是的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,
常用表示,即.
【注意】(1)当直线与轴平行或重合时,,;
(2)直线与轴垂直时,,不存在.
由此可知,一条直线的倾斜角一定存在,但是斜率不一定存在.
2、直线的倾斜角与斜率之间的关系
由斜率的定义可知:
图示
倾斜角(范围)
斜率(范围)
不存在
直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系,
在和内分别与倾斜角变化方向一致,即倾斜角越大则斜率越大,反之亦然.
因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可,反之亦然.
4、斜率公式
已知点、,且与轴不垂直,
过两点、的直线的斜率公式.
题型一求直线的斜率
【例1】(2023秋·贵州黔西·高二统考期末)已知直线的倾斜角为,则直线的斜率为()
A.B.C.D.
【变式1-1】(2022秋·江苏淮安·高二校联考期中)经过、两点的直线的斜率为.
【变式1-2】(2022秋·重庆北碚·高二重庆市兼善中学校考阶段练习)过两点和的直线的斜率为()
A.B.1C.D.
【变式1-3】(2022秋·广东湛江·高三校考阶段练习)直线经过两点,直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,则的斜率为.
题型二求直线的倾斜角
【例2】(2023秋·高二课时练习)如图所示,直线与轴的夹角为,则的倾斜角为()
A.B.C.D.无法计算
【变式2-1】(2023秋·高二课时练习)一束光线射到轴上并经轴反射.已知入射光线的倾斜角,则反射光线的倾斜角.
【变式2-2】(2022秋·高二课时练习)(多选)若直线与轴交于点,其倾斜角为,直线绕点顺时针旋转45°后得直线,则直线的倾斜角可能为()
A.B.C.D.
【变式2-3】(2022秋·河北石家庄·高二校考开学考试)设直线l的斜率为,且,则直线的倾斜角的取值范围为()
A.B.C.D.
题型三由倾斜角与斜率求参
【例3】(2023春·河北张家口·高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习)已知,两点所在直线的倾斜角为,则实数的值为()
A.B.C.D.5
【变式3-1】(2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习)设m为实数,过两点的直线l的倾斜角为.求m的值()
A.m=﹣1或m=﹣2B.m=﹣2C.D.m=﹣1
【变式3-2】(2023·全国·高一专题练习)过点P(2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,那么m的值为()
A.1或4B.4C.1或3D.1
【变式3-3】(2022秋·安徽六安·高二校考阶段练习)若过点,的直线的倾斜角为锐角,则实数的取值范围为()
A.B.C.D.
题型四斜率与倾斜角的关系
【例4】(2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末)在下列四个命题中,正确的是()
A.若一条直线的斜率为,则此直线的倾斜角为
B.若一条直线的倾斜角为,则此直线的斜率为
C.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
D.直线的倾斜角的取值范围是
【变式4-1】(2023秋·贵州贵阳·高二统考期末)以下四个命题,正确的是()
A.若直线l的斜率为1,则其倾斜角为45°或135°
B.经过两点的直线的倾斜角为锐角
C.若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应
D.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应
【变式4-2】(2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末)下列说法正
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