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人教版九年级上册

第24章圆

24.3正多边形和圆

1.下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边

形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴.其中真命题有2个.

课堂讲练

变式1边心距为3的正六边形的周长为(B)

A.18

B.12

C.

D.2

课堂讲练

的度数是(B)

A.60°

B.54°

C.76°

D.72°

2.如图，五边形ABCDE是⊙0的内接正五边形，则∠OCD

课堂讲练

变式2[2023内江]如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0,点

P在AB上，点Q是DE的中点，则∠CPQ的度数为(B)

A.30°

B.45°

C.36°

D.60°

课堂讲练

如图，连接OC,OD,0Q,OE.

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∵点Q是DE的中点，

∴DQ=EQ,

【点拨】

课堂讲练

∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=90°,

【点拨】

课堂讲练

【解】如图，①作直径AD;

②以D为圆心，OD长为半径画弧，交⊙0于B,C两点；

③连接AB,BC,CA,则△ABC为⊙0的内接正三角形.

3.(1)如图，请用尺规作出⊙0的内接正三角形ABC.

课堂讲练

(2)如图，请用尺规作出⊙0的内接正八边形

【解】如图，①画两条互相垂直的直径AB,CD;②连接AC,BC,过点O作AC和BC的垂线，分别交⊙0于点E,F,G,

H;③顺次连接点A,E,C,G,B,F,

D,H,A,得到的八边形AECGBFDH就是所求作的⊙0的内接正八边形.

课堂讲练

变式3如图，已知⊙0和⊙O上的一点A.

(1)作⊙0的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH,

并使点E在上；

课堂讲练

【解】作法：①作直径AC;②作直径

BD⊥AC;③依次连接A,B,C,D四点，则四边形ABCD即为⊙0的内接正方形；

④分别以A,C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙0于E,H,F,G;⑤顺次连接A,E,F,C,G,H各点，则六边形AEFCGH即为⊙0的内接正六边形.

课堂讲练

边形的一边.

【证明】如图，连接OE.

(2)在(1)的条件下，连接DE,求证：DE是⊙0内接正十二

∴∠DOE=∠AOD一∠AOE=90°—60°=30°.

∴DE为O0的内接正十二边形的一边。

课堂讲练

··

9

1

1.如图，把⊙0分成相等的六段弧，依次连接各分点得到

正六边形ABCDEF,如果⊙0的周长为12π,那么该正六边形的边长是(B)

A.12

B.6

C.3

D.2

当堂小练

当堂小练

2.如图，正八边形ABCDEFGH中，∠GBF=22.5。.

3.[2023衡阳]如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，

图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环

排列，共需要正五边形的个数是10

当堂小练

●

4.[2023厦门模拟]如图，在⊙0的内接正六边形ABCDEF

中，BD,EC交于点G,已知⊙0的半径为3,则BG的长为

当堂小练

【点拨】

连接OB,OC.

∵六边形ABCDEF是⊙0的内接正六边形，

,∠BCD=∠CDE

,BC=CD=DE.

又∵OB=0C,

∴△BOC是等边三角形，∴BC=OB=3.

当堂小练

··

∴∠BCG=120°—30°=90°.

在Rt△BCG中，∵∠CBG=30°,∴BG=2CG,由勾股定理得BG²=CG²+BC²,

∴(2CG)²=CG²+3²,∴CG=√3,∴BG=2√3.

当堂小练

【点拨】

∵BC=CD=DE,

一点，连接DP,CP.

(1)求∠CPD的度数；

【解】如图，连接OD,OC.

∵正方形ABCD内接于⊙0,

5.[2023遂宁模拟]如图，正方形ABCD内接于⊙0,P为上

当堂小练

求n的值.

【解】如图，连接PO,OB.

∵正方形ABCD内接于⊙0,

(2)当点P为的中点时，CP是⊙0的内接正n边形的一边，

∵点P为BC的中点，∴CP=BP,

∴n=360°÷45°=8.

当堂小练

·:

,

6.如图，正方形ABCD内接于⊙0,E为AD的中点.

(1)作等边三角形EFG,使点F,G分别在AB和CD上(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法);

【解】如图所示，

△EFG即为所求.

当堂小练

(2)在(1)的条件下，连接OB,OG,求∠BOG的度数.

【解】如图，

易知EH⊥GF,∴∠GEH=30°,

∴