2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析 第五章　§5.4　平面向量中的综合问题.docxVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析

§5.4平面向量中的综合问题

重点解读平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等．

题型一平面向量在几何中的应用

例1(1)(多选)(2023·武汉模拟)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是()

A．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的垂心

B．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，则直线AP必过△ABC的外心

C．若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，则O为△ABC的外心

D．若eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，则N是△ABC的重心

答案ACD

解析对于A，由题意可得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，

所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确；

对于B，如图设eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，则|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝1，

以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形，

则eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，

所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→))，

又因为AQ平分∠BAC，故AP必经过△ABC的内心，故B错误；

对于C，因为|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，所以O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC的外心，故C正确；

对于D，记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，由题意eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＝2eq\o(ND,\s\up6(→))＝－eq\o(NC,\s\up6(→))，则NC＝2ND，同理可得NA＝2NE，NB＝2NF，则N是△ABC的重心，故D正确．

(2)(2023·南宁模拟)△ABC的外心O满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\r(2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，则△ABC的面积为()

A.eq\f(2＋\r(2),2)B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\r(2)D．2

答案B

解析设AB的中点为D，

则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\r(2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝0可化为2e