6.2　6.2.4　第1课时　向量数量积的概念.pptx

6.2平面向量的运算

6.2.4向量的数量积

第1课时向量数量积的概念;课程标准：1.通过物理中功的实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．

教学重点：1.平面向量数量积的相关概念.2.平面向量数量积的性质．

教学难点：平面向量的数量积与投影向量的关系．

核心素养：1.通过从物理中功的实例抽象出向量数量积概念的过程培养数学抽象素养.2.通过运用向量的数量积来解决问题提升逻辑推理素养和数学运算素养.;1;非零;0≤θ≤π;数量|a||b|cosθ;投影;|a|cosθe;知识点四向量数量积的性质

设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则; 对向量数量积的理解

(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解．

(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零．

(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作a·b，中间的实心点不能省略，也不能把实心点用乘号“×”代替，写成a×b.;1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)a与b的数量积a·b是一个向量．()

(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()

(3)若a⊥b，则a·b＝0.()

(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acosθ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量．();2．做一做

(1)若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为()

A．60° B．30°

C．120° D．150°;2;;解; 向量夹角的求解策略

(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作、二证、三算”的步骤求出．

(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ20时，θ0＝180°－θ；当λ1λ20时，θ0＝θ.;A．30° B．60°

C．120° D．150°;解析;(2)已知a，b是??个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．;解;答案;(2)已知a，b是两个非零向量，且|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角．;

1．求平面向量的数量积的一般步骤

;2．求向量夹角的一般步骤

;[跟踪训练2](1)若|a|＝8，|b|＝4，a·b＝16，则向量a与b的夹角为________.;解析;; 投影向量的求解策略

(1)任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cosθe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量)．

(2)在平面几何图形中，求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角．;[跟踪训练3]如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．;解;解;例4(1)已知|a|＝4，|b|＝2，b2－a2＝3a·b，则向量a与向量b的夹角等于();(2)已知下列命题：

①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②若a与b共线，则a·b＝|a||b|；③|a||b|a·b；④a·a·a＝|a|3；⑤若向量a，b满足a·b0，则a与b的夹角为锐角；⑥若a·b＝0，则|a＋b|＝|a－b|.

其中正确的命题是________(填序号)．;答案; 向量数量积性质的理解

(1)非零向量a与b垂直?a·b＝0.

;设两个非零向量a与b的夹角为θ，则

当θ＝0时，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；

当θ为锐角时，cosθ0，a·b0；

当θ为直角时，cosθ＝0，a·b＝0；

当θ为钝角时，cosθ0，a·b0；

当θ＝π时，cosθ＝－1，a·b＝－|a||b|.

(4)|a·b|≤|a||b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题．;[跟踪训练4](1)已知非零向量a，b的夹角为45°，且|a|＝2，a2－2a·b＋b2＝4，则|b|＝________.;(2)给出下列命题：;解析;3;A．30° B．60°

C．120° D．150°;A．3 B．6

C．9 D．12;3．(多选)若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列四个结论中可能正确的是()

A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1

C．|e1·e2|＞1 D．|e1·e2|＜