6.4　6.4.3　第1课时　余弦定理.pptx

6.4平面向量的应用

6.4.3余弦定理、正弦定理

第1课时余弦定理;课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理．

教学重点：1.用向量的方法推导余弦定理.2.用余弦定理求解三角形的边、角．

教学难点：余弦定理在解三角形中的应用．

核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.;1;其他两边平方的和减去这两边与;三个角A，B，C;1．对余弦定理的理解

(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．

(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．

(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．

(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．;2．判定三角形的形状

(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：

①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式．

②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式．;(2)判定三角形形状时经常用到下列结论：

①在△ABC中，若a2b2＋c2，则0°A90°；反之，若0°A90°，则a2b2＋c2.例如：在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2b2＋c2，则60°A90°.

②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.

③在△ABC中，若a2b2＋c2，则90°A180°；反之，若90°A180°，则a2b2＋c2.;1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．()

(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．()

(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．();2．做一做;2;;已知两边及一角解三角形的两种情况

(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角．

(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法??出第三边的长．;[跟踪训练1](1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是();解;答案;答案;[条件探究]若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？; 已知三边(三边关系)求解三角形的方法

(1)已知三角形的三边求角时，可利用余弦定理的推论求解出各角的大小．

(2)若已知三角形的三边关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质转化为已知三边求解．

注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．;[跟踪训练2](1)在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为________.;(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．;解;[解]由2cosAsinB＝sinC，得

2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，

∴sinAcosB－cosAsinB＝0，

∴sin(A－B)＝0，

又A与B均为△ABC的内角，

∴A＝B.

由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，

得(a＋b)2－c2＝3ab，;解;利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项

(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．;[跟踪训练3]在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．;3;1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于();答案;答案;答案;5．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状．;4;A．2 B．3

C．4 D．5;答案;A．正三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形;4．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x1)，则△ABC的最大角为()

A．150° B．120°

C．60° D．75°;5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是();解析;答案;答案;答案;解析;三、解答题

9．(2023·陕西咸阳统考模拟预测)已知△ABC中，AC＝1，BC＝2，∠ABC＝30°，且边AB，BC上的中线CD