第03练 利用导数证明不等式【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之导数篇（原卷版）_1.docx

第03练利用导数证明不等式

【基础练】

1．（2023·全国·高三专题练习），

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明；

(3)证明对于任意正整数，都有.

2．（2022秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）已知函数，．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：．

3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相平行．

（1）求的值；

（2）求证：在上恒成立．

4．（2022·浙江·高三专题练习）设函数．

（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；

（2）证明：当时，．

5．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．

（1）求的值；

（2）证明：．

6．（2021春·安徽亳州·高二亳州二中校考期中）已知函数．

当时，求函数在点处的切线方程；

当时，若对任意都有，求实数a的取值范围．

7．（2021春·山西长治·高二校考阶段练习）已知函数.

（1）求函数在上的最大值、最小值；

（2）求证：在区间上，函数的图像在函数图像的下方.

8．（2020·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）设是的导函数的零点，若，求证：.

9．（2022·江苏·高二假期作业）已知函数曲线在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）证明：当且时，.

10．（2012·湖北·高考真题）设函数，为正整数，为常数，曲线在处的切线方程为．

（1）求的值；（2）求函数的最大值；（3）证明：．

【提升练】

11．（2023·陕西咸阳·统考一模）已知函数.

(1)求在点处的切线方程;

(2)求证：当时，.

12．（2023秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考期末）设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若的最小值为，证明：.

13．（2023春·江苏南通·高二校考期末）已知函数．

(1)时，求函数在处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)证明不等式恒成立．

14．（2023秋·山东菏泽·高三校考阶段练习）若．

(1)当，时，讨论函数的单调性；

(2)若，且有两个极值点，，证明．

15．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考期中）已知函数，.

(1)若函数在上单调递增，求a的取值范围；

(2)若，求证：.

16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且.

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：.

17．（2023春·黑龙江大庆·高二校考期末）已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明

18．（2022春·全国·高二期末）已知函数，其中．

(1)求函数的单调区间；

(2)设函数．当，时，证明：．

【能力练】

19．（2021·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点.

（1）求实数的取值范围；

（2）设、是的两个零点，求证：.

20．（2023春·江苏苏州·高二校考期中）已知函数．

(1)讨论的极值点个数；

(2)若有两个极值点，且，当时，证明：．

21．（2023春·山东枣庄·高二枣庄八中校考期中）已知函数.

(1)讨论的单调性

(2)若函数有且只有两个零点，证明：.

22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，.

(1)若直线与在处的切线垂直，求的值；

(2)若函数存在两个极值点，，且，求证：.

23．（2022秋·四川遂宁·高三校考开学考试）已知函数，.

（1）求函数的增区间；

（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：.

24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.

(1)若，恒成立，求的取值范围；

(2)证明：；

(3)证明：当时，.

【磨尖练】

25．（2022·辽宁大连·统考二模）已知函数，.

(1)求函数的单调区间；

(2)设，若函数有两个极值点，，且.

（i）求实数a的取值范围；

（ii）求证：.

26．（2022秋·天津滨海新·高三校考期末）已知函数，.

(1)当时，求函数在点处的切线；

(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；

(3)求证：时，.

27．（2022秋·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）已知函数在处的切线经过点.

(1)若函数至多有一个零点，求实数a的取值范围；

(2)若函数有两个不同的零点，且，求证：.（）

28．（2022·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知函数，其中，e为自然对数的底数，

(1)若函数在定义域上有两个零点，求实数a的取值范围；

(2)当时，求证：