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第04练利用导数研究不等式恒成立问题
【基础练】
1.(2021·全国·校联考模拟预测)已知函数.
(1)证明:当时,函数有唯一的极大值;
(2)当恒成立,求实数的取值范围.
2.(2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中)已知函数.
(1)当时,求函数的极值;
(2)若对,恒成立,求的取值范围.
3.(2020春·陕西咸阳·高二统考期末)已知函数f(x)=aex﹣2x+1.
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)若f(x)>0对x∈R成立,求实数a的取值范围
4.(2020·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)求函数在区间上零点个数;(其中为的导数)
(2)若关于的不等式在上恒成立,试求实数的取值范围.
5.(2021秋·陕西延安·高三子长市中学校考期中)已知函数的图像在点处的切线方程为.
(1)求,的值;
(2)当时,证明:对恒成立.
6.(2022春·海南·高二校考期中)已知函数的图象经过点,曲线在点处的切线恰好与直线垂直.
(1)求实数,的值;
(2)若函数在区间上单调递增,求的取值范围.
7.(2021春·甘肃天水·高二天水市第一中学校考开学考试)已知函数.
(1)若在处取得极小值,求的值;
(2)若在上恒成立,求的取值范围;
8.(2019·吉林长春·高三统考期末)设函数.
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
9.(2021秋·青海西宁·高三校联考期末)已知函数.
(1)当时,证明:函数单调递增;
(2)当时,令,若,求实数的取值范围.
10.(2020春·四川成都·高二校考期中)已知函数.
(Ⅰ)求函数在区间上的最小值;
(Ⅱ)证明:对任意,都有成立.
【提升练】
11.(2022秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)已知,R.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对任意的,恒成立,求整数a的最小值.
12.(2023春·江苏连云港·高二校联考阶段练习)已知函数,.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围.
13.(2022秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考开学考试)已知.
(1)求证:对于,恒成立;
(2)若对于,有恒成立,求实数a的取值范围.
14.(2022春·河南濮阳·高二濮阳一高校考期中)已知函数,.
(1)讨论的单调性;
(2)若时,恒成立,求的取值范围.
15.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数的值及函数的单调区间;
(2)若时,,求的最大值(注:表示不超过实数的最大整数).
16.(2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习)设函数.
(1)若是的极值点,求的单调区间;
(2)若恒成立,求的取值范围.
17.(2023·北京·高三专题练习)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,曲线在轴的上方,求实数a的取值范围.
18.(2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若对任意的,都有成立,求a的取值范围.
【能力练】
19.(2022春·北京·高三北京市十一学校校考阶段练习)已知函数,.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若关于x的不等式恒成立,求整数a的最小值;
(3)是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点?并说明理由.
20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)试判断函数在上单调性并证明你的结论;
(2)若对于恒成立,求正整数的最大值;
(3)求证:.
21.(2023·北京·高三专题练习)已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,求证:函数存在极小值;
(3)若对任意的实数,恒成立,求实数a的取值范围.
22.(2022秋·上海静安·高三上海市市西中学校考期中)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,求函数的单调区间;
(3)当时,恒成立,求的取值范围.
23.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,记的导函数为
(1)讨论的单调性;
(2)若有三个不同的极值点,其中
①求的取值范围;
②证明:.
24.(2023·河南信阳·信阳高中校考三模)已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若对恒成立,求a的取值范围;
(3)证明:若在区间上存在唯一零点,则.
25.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,.
(1)讨论函数在区间上的最大值;
(2)确定k的所有可能取值,使得存在,对任意的,恒有.
【磨尖练】
26.(2022春·安徽滁州·高三校考阶段练习)已知函数.
(1)若不等式恒成立,求正实数a的值;
(2)证明:.
27.(2022·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)若恒成立,求实数a的取值范围;
(2)
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