第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 (高频精讲）（解析版）_1.docx

第05讲利用导数研究不等式能成立（有解）问题(精讲）

目录

TOC\o1-2\h\u第一部分：知识点必背 1

第二部分：高频考点一遍过 2

高频考点一：分离变量法 2

高频考点二：分类讨论法 7

高频考点三：等价转化法 12

高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题 15

高频考点五：值域法解决双参等式问题 19

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第一部分：知识点必背

1、分离参数法

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）

②转化：，使得能成立；

，使得能成立．

③求最值.

2、分类讨论法

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．

3、等价转化法

当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.

4、最值定位法解决双参不等式问题

（1）,,使得成立

（2）,,使得成立

（3）,,使得成立

（4）,,使得成立

5、值域法解决双参等式问题

,,使得成立

①，求出的值域，记为

②求出的值域，记为

③则,求出参数取值范围.

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：分离变量法

典型例题

例题1．（2023春·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）已知函数的图象在处的切线与直线平行，若存在，使得不等式成立，则实数的最小值是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】函数的导数为，

由题意可得的图象在处的切线的斜率为，

由切线与直线平行，可得，解得.

若存在，使得不等式成立，即为在时有解，

故在时有解，

令，，

则，

易得，时，恒成立，

故时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

故时，取得最小值，

则，可得的最小值为3.

故选：C.

例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时，函数有极小值0.

(1)求函数的解析式；

(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【详解】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0，

因此，解得，此时，

当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0，

所以函数的解析式为.

（2），不等式，

令，，求导得，

因此函数在上单调递减，则当时，，

因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有，

所以实数的取值范围是.

例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．

(1)求的极值；

(2)若在时有解，求实数的取值范围．

【答案】(1)极小值为0，无极大值；

(2)

【详解】（1），当时，，当时，，则在上单减，在上单增，

故的极小值为，无极大值.

（2）在时有解，即在时有解，令，

则，由（1）知在上单增，且，则，

则当时，单减，当时，单增，所以，故.

例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若存在，使成立，求整数的最小值．

【答案】（1）的增区间为，减区间为（2）5

【详解】（1）由题意可知，，，

当时，令，或；

时，，在单调递增；

时，，在单调递减；

综上所述，的增区间为，减区间为

（2）原式等价于，

即存在，使成立．

设，，则，

设，则，∴在上单调递增．

又，，

根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，

设该零点为，则，且，即，

∴.

由题意可知，又，，

∴a的最小值为5．

练透核心考点

1．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________.

【答案】

【详解】，

，

，

，

令，

则若关于的不等式有解，

则，

，

，则当时，，当时，，

故当时，单调递增，当时，单调递减，

则，

则，

故实数的取值范围是，

故答案为：.

2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值4．

(1)求a，b的值；

(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

（1），则．

因为函数在处取得极值4，

所以，解得

此时．

易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

则是函数的极大值点，符合题意．故，．

（2）若存在，使成立，则．

由（1）得，，

且在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，即，解得，

所以实数的取值范围是．

3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．

(1)求函数；

(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】(1);

(