第06讲 双曲线(精讲）（解析版）_1.docx

第06讲双曲线

目录

TOC\o1-2\h\u第一部分：知识点必背 1

第二部分：高考真题回归 3

第三部分：高频考点一遍过 6

高频考点一：双曲线定义理解 6

高频考点二：利用双曲线定义求方程 8

高频考点三：双曲线中最值问题 11

高频考点四：双曲线中的焦点三角形 14

高频考点五：双曲线标准方程 18

高频考点六：双曲线焦点、焦距、实轴、虚轴 21

高频考点七：等轴双曲线 23

高频考点八：双曲线的渐近线 25

高频考点九：双曲线的离心率 28

第四部分：数学文化题 32

第一部分：知识点必背

知识点一：双曲线的定义

1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.

这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

2、集合语言表达式

双曲线就是下列点的集合:.

3、说明

若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.

(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;

(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.

知识点二：双曲线的标准方程和简单几何性质

标准方程

（）

（）

图形

性质

范围

或

或

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点坐标

，

,

渐近线

离心率

，，

间的关系

知识点三：等轴双曲线

（，）当时称双曲线为等轴双曲线

①；②离心率；③两渐近线互相垂直，分别为；

④等轴双曲线的方程，；

知识点四：双曲线与渐近线的关系

1、若双曲线方程为渐近线方程：

2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：

3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，

4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）

第二部分：高考真题回归

1．（2023·全国（甲卷文理）·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由，则，

解得，

所以双曲线的一条渐近线不妨取，

则圆心到渐近线的距离，

所以弦长.

故选：D

2．（2023·全国（乙卷文理）·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设，则的中点，

可得，

因为在双曲线上，则，两式相减得，

所以.

对于选项A：可得，则，

联立方程，消去y得，

此时，

所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；

对于选项B：可得，则，

联立方程，消去y得，

此时，

所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得，则

由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，

所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；

对于选项D：，则，

联立方程，消去y得，

此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；

故选：D.

3．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为．

【答案】

【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，

由双曲线的离心率为，得，解得，则，

所以双曲线的方程为.

故答案为：

4．（2023·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．

【答案】/

【详解】方法一：

依题意，设，则，

在中，，则，故或（舍去），

所以，，则，

故，

所以在中，，整理得，

故.

方法二:

依题意，得，令，

因为，所以，则，

又，所以，则，

又点在上，则，整理得，则，

所以，即，

整理得，则，解得或，

又，所以或（舍去），故.

故答案为：.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：双曲线定义理解

典型例题

例题1．（多选）（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（???）

A．当时，点的轨迹为一直线

B．当时，点的轨迹为一射线

C．当时，点的轨迹不存在

D．当时，点的轨迹是双曲线

【答案】AB

【详解】对于A选项，当时，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对；

对于B选项，当时，，则点的轨迹是一条射线，

且射线的端点为，方向为轴的正方向，B对；

对于C选项，当时，，则点的轨迹是一条射线，

且射线的端点为，方向为轴的负方向，C错；

对于D选项，当时，，且，

所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，D错.

故选：AB.

例题2．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的上支的是（????）

A． B．

C